《2025年名校课堂九年级数学上册人教版》

12. (2024·西宁)如图,小区物业规划在一个长60 m,宽22 m的矩形场地$ABCD$上,修建一个小型停车场,阴影部分为停车位所在区域,两侧是宽$x$m的道路,中间是宽$2x$m的道路.如果阴影部分的总面积是600 m²,那么$x$满足的方程是(A)


A.$x^{2}-41x+180=0$
B.$x^{2}-41x+225=0$
C.$x^{2}-41x+30=0$
D.$x^{2}-41x-270=0$
]

答案： 12.A

13. (2023·南充顺庆区月考)某商店销售一款袋装食品,每袋的成本价为40元,物价部门规定,每袋的售价大于40元但不得高于70元,且为整数.经市场调查发现,当每袋的售价为50元时,日均销售量为100袋,在此基础上,每袋的售价每增加1元,日均销售量减少5袋;每袋的售价每减少1元,日均销售量增加5袋.设该商店这款食品每袋的售价为$x$元.
(1)若该商店这款袋装食品日均销售额为3000元,求$x$的值.(销售额=销售量×售价)
(2)是否存在$x$的值,使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1150元? 若存在,求出$x$的值;若不存在,则说明理由.[毛利润=销售量×(售价-成本价)]

答案： 13. 解：
(1)当该商店这款食品每袋的售价为$x$元时，日均销售量为$100 - 5(x - 50)=(350 - 5x)$袋。根据题意，得$x(350 - 5x)=3000$，整理，得$x^{2}-70x + 600 = 0$，解得$x_{1}=10$（不符合题意，舍去），$x_{2}=60$。答：$x$的值为$60$。
(2)不存在$x$的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为$1150$元。理由如下：假设存在$x$的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为$1150$元，当该商店这款食品每袋的售价为$x$元时，每袋的销售利润为$(x - 40)$元，日均销售量为$(350 - 5x)$袋。根据题意，得$(x - 40)(350 - 5x)=1150$，整理，得$x^{2}-110x + 3030 = 0$，$\because \Delta =(-110)^{2}-4×1×3030=-20＜0$，$\therefore$原方程没有实数根，$\therefore$假设不成立，即不存在$x$的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为$1150$元。

14. 新考向 阅读理解 阅读材料,并解决问题.
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法,以$x^{2}+2x-35=0$为例,构造方法如下:

首先将方程$x^{2}+2x-35=0$变形为$x(x+2)=35$,然后画四个长为$x+2$,宽为$x$的矩形,按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形,则图1中大正方形的面积可表示为$(x+x+2)^{2}$,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和,即$4x(x+2)+2^{2}=4×35+4$.因此,可得新方程$(x+x+2)^{2}=144$.因为$x$表示边长,所以$2x+2=12$,即$x=5$.遗憾的是,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法,则下面三个构图中,能够用几何法求解方程$x^{2}-4x-12=0(x＞0)$的正确构图是②.(填序号)

【类比迁移】小颖根据以上解法解方程$2x^{2}+3x-2=0$,请将其解答过程补充完整:
第一步:将原方程变形为$x^{2}+\frac{3}{2}x-1=0$,即$x$($x+\frac{3}{2}$)$=1$;
第二步:利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;
第三步:根据大正方形的面积可得新的方程$(x + x+\frac{3}{2})^{2}=4×1+(\frac{3}{2})^{2}$,解得原方程的一个根为$\frac{1}{2}$.
【拓展应用】一般地,对于形如$x^{2}+ax=b$的一元二次方程,可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成,中间围成的正方形面积为4,那么此方程的系数$a=$$\pm2$, $b=$3,求得方程的正根为1或3.

答案： 14.【理解应用】②【类比迁移】$x+\frac{3}{2}(x + x+\frac{3}{2})^{2}=4×1+(\frac{3}{2})^{2}\frac{1}{2}$【拓展应用】$\pm2$ 3 1或3