《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

9. 若$\sqrt{\frac{x}{1 - x}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}}$成立，则$x$的取值范围为 （ ）
A. $x\geq0$
B. $0\leq x\lt1$
C. $x\lt1$
D. $x\geq0$或$x\lt1$

答案： B

10. 在根式$\sqrt{3}$，$\sqrt{18x}$，$-\sqrt{4x}$，$\sqrt{x^{2}}$，$\sqrt{5x^{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{0.25}$中，是最简二次根式的有 （ ）
A. $1$个
B. $2$个
C. $3$个
D. $4$个

答案： A

11. 已知二次根式$\sqrt{23 - a}$与$\sqrt{8}$化成最简二次根式后，被开方数相同，若$a$是正整数，则$a$的最小值为 （ ）
A. $23$
B. $21$
C. $15$
D. $5$

答案： D

12. 计算：
(1)$3\sqrt{2}\times\frac{1}{2}\sqrt{6}\div\sqrt{8}$； (2)$3\sqrt{2\frac{2}{3}}\times(-\frac{1}{8}\sqrt{15})\div\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{5}}$.

答案： 解：
(1)原式 = $\frac{3}{4}\sqrt{6}$；
(2)原式 = $-\frac{15}{2}$.

13. 已知$\sqrt{\frac{x - 6}{9 - x}}=\frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{9 - x}}$，且$x$为奇数，求$(x + 1)\cdot\sqrt{\frac{x^{2}-2x + 1}{x^{2}-1}}$的值.

答案： 解：由题意得$6 \leq x ＜ 9$且x为奇数，$\therefore x = 7$，
$\therefore$原式 = $(x + 1) \cdot \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{(x + 1)(x - 1)} = \sqrt{8 \times 6} = 4\sqrt{3}$.

14. 二次根式中有这样一些相辅相成的“对子”：$\sqrt{6}\times\sqrt{6}=6$，$(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 1$，$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 3$，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式. 于是，二次根式的除法可以这样解：如$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2+\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=7 + 4\sqrt{3}$. 像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫分母有理化.
(1)$\sqrt{2}$的有理化因式是________，$4+\sqrt{7}$的有理化因式是________.
(2)计算：$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}-\frac{6}{\sqrt{3}}$.
(3)化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{21}+\sqrt{19}}$.

答案： 解：
(1)$\sqrt{2}$，$4 - \sqrt{7}$；
(2)$2 - \sqrt{3}$；
(3)原式 = $\frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \cdots + \frac{\sqrt{21} - \sqrt{19}}{2} = \frac{\sqrt{21} - 1}{2}$.