《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 已知正方形ABCD中，O为AC的中点，P为射线AC上一点，E为射线BC上一点，且PD⊥PE。
　(1)如图1，点P在线段AO上。
　　①求证：PD = PE；
　　②求证：BE = $\sqrt{2}AP$；
　　③求证：CD + CE = $\sqrt{2}CP$；
　　④求证：PC - PA = $\sqrt{2}CE$；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(2)如图2，点P在线段OC上，下列结论：①PD = PE，②BE = $\sqrt{2}AP$，③CD - CE = $\sqrt{2}CP$，④PA - PC = $\sqrt{2}CE$。其中正确的有________(填序号)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

答案： 证明：
(1)①连接PB，易证△PCB≌△PCD，
∴PD = PB，
易证∠PDC = ∠PBC = ∠PEB，
∴PB = PE，
∴PD = PE；
②过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，
易证PG = BF = EF，
∴BE = 2PG = 2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP = $\sqrt{2}$AP；
③延长CD至点M，使DM = CE，连接PM，
易证△PEC≌△PDM，△PCM为等腰直角三角形，
∴CD + CE = CM = $\sqrt{2}$CP；
④过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，
由①知PG = AG = BF = EF，
又
∵PA = $\sqrt{2}$PG = $\sqrt{2}$EF，PC = $\sqrt{2}$CF，
∴PC - PA = $\sqrt{2}$(CF - EF) = $\sqrt{2}$CE.
(2)①同
(1)中①的方法类似；
②同
(1)中②的方法类似；
③在CD上截取DM = CE，
证△PCM是等腰直角三角形即可；
④
∵PA = $\sqrt{2}$PG = $\sqrt{2}$BF = EF，PC = $\sqrt{2}$CF，
∴PA - PC = $\sqrt{2}$(EF - CF) = $\sqrt{2}$CE.