《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

教材母题如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∠AEF = 90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE = EF.

答案： 证明:证法一:在AB上截取AG = CE,
证∠GAE = ∠CEF,∠AGE = 135° = ∠ECF,
∴△AGE≌△ECF,
∴AE = EF;
证法二:连接AC,过点E作EM⊥BC,
交AC于点M,证△AEM≌△FEC即可.

变式1 如图,若点E不是BC的中点,其他条件不变,则AE = EF是否仍成立? 试说明理由.

答案： 解:成立.
证法一:在AB上截取AG = CE,
证△AGE≌△ECF.
证法二:连接AC,过点E作EM⊥BC交AC于点M,证△AEM≌△FEC.

变式2 如图,若点E在BC的延长线上,其他条件不变,试探究AE与EF之间的数量关系.

答案： 解:AE = EF.
证法一:在BA的延长线上截取AG = CE,证△AGE≌△ECF.
证法二:过点E作EM⊥BC交CF于点M,证△ACE≌△FME.

变式3 如图,四边形ABCD是菱形,∠ABC = 60°,点E是BC边上一点,∠AEF = 60°,且EF交边CD于点F,求证:AE = EF.

答案： 证明:在AB上截取AG = CE,证△AGE≌△ECF.

变式4 如图,在变式3中,若E在BC的延长线上,其他条件不变,试探究AE与EF的数量关系.

答案： 解:AE = EF.在BA的延长线上截取AG = CE,证△AGE≌△ECF.