《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

方法技巧一　作高→连环勾→构建方程
1. 如图，在△ABC中，BC = 4，AC = 13，AB = 15，求$S_{△ABC}。$
　　　　　　　　　　

答案： 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，设 CD = x，
∵AC² - CD² = AB² - BD²，
∴13² - x² = 15² - (4 + x)²，
∴x = 5，
∴AD = √(AC² - CD²) = 12，
∴S△ABC = 24.

方法技巧二　共边→连环勾→构建方程
2. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D，BD = 2，CD = 4，求AD的长。
　　

答案： 解：设 AD = x，在 Rt△ACD 中，
AC² = AD² + CD² = x² + 4²，在 Rt△BCD 中，
BC² = CD² + BD² = 4² + 2²，在 Rt△ABC 中，
AC² + BC² = AB²，x² + 4² + 4² + 2² = (x + 2)²，
解得 x = 8，
∴AD = 8.

3. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D是BC的中点，AD = 13，AB = 2√61，求CD的长。
　　

答案： 解：设 CD = BD = x，在 Rt△ACD 中，AC² + x² = 13²①，
在 Rt△ABC 中，AC² + (2x)² = (2√61)²②，
由② - ①得 x = 5，
∴AC = 12，CD = 5.

4. 如图，在正方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF。若AD = 4，求CF的长。
　　　　　

答案： 解：连接 EF，设 BF = x，则 FG = x，CF = 4 - x.
在 Rt△ADE 中，可得 AE = 2√5.
根据折叠的性质可知 AG = AB = 4，
∴GE = 2√5 - 4.
在 Rt△GEF 中，可得 EF² = (2√5 - 4)² + x²，
在 Rt△FCE 中，可得 EF² = (4 - x)² + 2²，
∴(2√5 - 4)² + x² = (4 - x)² + 2²，
解得 x = 2√5 - 2.
则 FC = 4 - x = 6 - 2√5.