《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 如图，在△ABC中，D，E为BC上两点，M，N分别是AB，AC的中点，ME与ND交于点O，若MO = 3，BC = 8，DE = 4，求OE的长.

答案： 解：连接$MN,MD,NE.\because M,N$分别是$AB,AC$的中点，
$\therefore MN// BC,MN = \frac{1}{2}BC,\because BC = 8,DE = 4$，
$\therefore MN = DE = 4,\therefore$四边形$MNED$为平行四边形.
$\therefore OE = MO = 3.$

2. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF = 6，BC = 13，CD = 5，DM⊥BC，垂足为M，求DM的长.

答案： 解：连接$BD.\because E,F$分别是$AB,AD$的中点，
$\therefore BD = 2EF = 12,\because BC = 13,CD = 5$，
$\therefore BD^{2}+CD^{2}=12^{2}+5^{2}=169 = 13^{2}=BC^{2}$，
$\therefore \angle BDC = 90^{\circ}.\because DM\perp BC$，
$\therefore S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}BC\cdot DM=\frac{1}{2}BD\cdot CD$，
$\therefore DM=\frac{60}{13}$.

3.【经典题】如图，在四边形ABCD中，AB = CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N. 求证：∠BME = ∠CNE.

答案： 证明：连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$EH,FH$.
$\because E,F$分别是$AD,BC$的中点，
$\therefore EH// AB,EH=\frac{1}{2}AB,FH// CD,FH=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore \angle BME=\angle HEF,\angle CNE=\angle HFE$.
$\because AB = CD,\therefore HE = HF.\therefore \angle HEF=\angle HFE$.
$\therefore \angle BME=\angle CNE$.

4. 在△ABC中，∠C = 90°，CA = CB，E，F分别为CA，CB上的一点，CE = CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE = $\sqrt{2}MN$.

答案： 解：取$AB$的中点$H$，连接$MH,NH$，则$MH=\frac{1}{2}BF$，
$NH=\frac{1}{2}AE.\because CE = CF$，
$CA = CB,\therefore AE = BF.\because M,N,H$分别为$AF,BE$，
$AB$的中点，$\therefore MH// BF$，
$NH// AE,\therefore \angle AHM=\angle ABC,\angle BHN=\angle BAC$.
$\therefore \angle MHN = 180^{\circ}-(\angle AHM+\angle BHN)=180^{\circ}-(\angle ABC+\angle BAC)$
$=90^{\circ}$.
$\therefore NH=\frac{\sqrt{2}}{2}MN,\therefore AE = 2NH=\sqrt{2}MN$.