《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD = ∠BCD = 90°，O为BD中点，连接OA，OC.
　(1) 求证：∠AOD = 2∠ABO；
　(2) 若∠ADC = 130°，求∠AOC的度数.
　　　　　　

答案： 解:
(1)易证$AO = BO = OD = OC$，$\therefore\angle ABO=\angle BAO$。
　$\therefore\angle AOD=\angle ABO+\angle BAO = 2\angle ABO$；
(2)易证$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$。$\because\angle ADC = 130^{\circ}$，
　$\therefore\angle ABC = 50^{\circ}$。易证$\angle COD = 2\angle CBO$，
　$\therefore\angle AOC = 2(\angle ABO+\angle CBO)=2\angle ABC = 100^{\circ}$。

2. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点. 求证：MN⊥DE.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明:连接$ME$，$MD$，则$ME = MD=\frac{1}{2}BC$，
　$\because N$为$DE$的中点，$\therefore MN\perp DE$。

3. 如图，在四边形ACBD中，∠ACB = ∠ADB = 90°，∠DBC = 60°，求$\frac{CD}{AB}$的值.
　　　　　

答案： 解:取$AB$的中点$E$，连接$CE$，$DE$，证$DE=\frac{1}{2}AB$，
$CE=\frac{1}{2}AB$，$\therefore DE = CE = EB$。
　证$\angle DEA = 2\angle DBE$，$\angle AEC = 2\angle EBC$，
　$\therefore\angle DEC = 2\angle DBC = 120^{\circ}$，
　$\therefore\angle DCE = 30^{\circ}$。过点$E$作$EM\perp CD$于点$M$，设$EM = 1$，
　则$CE = 2$，$CM=\sqrt{3}$，
　$\therefore CD = 2\sqrt{3}$，又$\because AB = 2CE = 4$，$\therefore\frac{CD}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

4. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC = 90°，E是CD的中点，求证：AE = BE.
　　　

答案： 证明:延长$AE$，$BC$交于点$F$，易证$\triangle ADE\cong\triangle FCE$，
　$\therefore AE = EF = BE$。