《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

9. 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点.
(1)画出△ABE关于直线AE对称的三角形；
(2)若AB = 6，AC = 10，求EF的长.
　　　　　　　　

答案： 解:
(1)延长BE交AC于点D,易证△ABE≌△ADE,
则△ADE与△ABE关于直线AE对称;
(2)由
(1)知BE = DE,AB = AD = 6,CD = 4,
∵BF = CF,
∴EF=$\frac{1}{2}CD = 2$。

10. 如图，分别以△ABC的边AB，AC为边向外作等腰直角三角形，AB = AE，AC = AD，∠BAE = ∠CAD = 90°.
(1)连接BD，CE，探究BD与CE的数量及位置关系；
(2)点G为BC的中点，点F为BE的中点，点H为CD的中点. 求证：GF = GH，GF⊥GH.
　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)BD = CE,BD⊥CE,证△BAD≌△EAC(SAS);
(2)
∵FG,GH分别为△BCE和△BCD的中位线，
∴FG//CE且FG=$\frac{1}{2}CE$,GH//BD且GH=$\frac{1}{2}BD$,
由
(1)得BD = CE且BD⊥CE,
∴GF = GH且GF⊥GH。

11. 如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，O为BD的中点.
(1)求证：OE//CD；
(2)若EO = 1，求BE² + CE²的值.
　　　　　

答案： 解:
(1)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC,AB = CD. 又
∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
∴∠AEB = ∠EBC = ∠ABE,
∴AB = AE. 同理ED = CD,
∵AB = CD,
∴AE = ED.
∵O为BD的中点，
∴EO//AB,
∵AB//CD,
∴OE//CD;
(2)
∵AE = ED,BO = OD,
∴AB = 2OE = 2,
∴BC = AD = AE + ED = 2AB = 4.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴∠EBC + ∠ECB=$\frac{1}{2}(∠ABC + ∠DCB)=90°$,
∴∠BEC = 90°,
∴BE² + CE² = BC² = 16。

12. 如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，E是边BC上的一点，且DE平分△ABC的周长.
(1)求证：AC + CE = BE；
(2)求∠BED的度数；
(3)求$\frac{DE}{AC}$的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)易知AC + CE + AD = BE + BD,又
∵AD = BD,
∴AC + CE = BE;
(2)延长BC至点M,使CM = CA,连接AM,
∵AC + CE = BE,
∴ME = EB,又AD = DB,
∴DE//AM,
∴∠BED = ∠M = 45°;
(3)由
(2)知AM=$\sqrt{2}AC$,DE=$\frac{1}{2}AM$,
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}AC$,
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。