《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

重点强化一　含30°或45°或60°角的三角形→作垂线→构造特殊直角三角形
1. 如图，在△ABC中，$BC = \sqrt{6} + \sqrt{2}$，∠B = 30°，∠C = 45°，求AC的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠C = 45°,
∴设AD = x,则AC = $\sqrt{2}AD=\sqrt{2}x$,CD = x,
∵∠B = 30°,
∴AB = 2x,在Rt△ABD中,
∠ADB = 90°,由勾股定理可得AD² + BD² = AB²,
得BD = $\sqrt{3}x$,
∴BC = BD + CD = ($\sqrt{3}+1$)x = $\sqrt{6}+\sqrt{2}$,解得x = $\sqrt{2}$,
故AC = 2.

2. 如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠A = 75°，$AC = 2\sqrt{3}$，求AB的长.
　　　　

答案： 2. 解:过点A作AD⊥BC于点D,
∵∠B = 45°,
∴∠BAD = 45°,∠DAC = 30°,
∴CD = $\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$,AD = $\sqrt{AC^{2}-CD^{2}} = 3$,
∵∠B = 45°,
∴BD = AD = 3,
∴AB = $\sqrt{AD^{2}+BD^{2}} = 3\sqrt{2}$.

3. 如图，在△ABC中，$AC = \sqrt{2}$，∠C = 45°，∠BAC = 105°，求BC的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 3. 解:过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠C = 45°,
∴AD = CD,在Rt△ACD中,
AD² + CD² = AC² = 2,
∴AD = CD = 1,
在Rt△ABD中,∠BAD = 60°,∠B = 30°,
BA = 2AD = 2,BD = $\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{3}$,
∴BC = BD + CD = $\sqrt{3}+1$.

4. 如图，在△ABC中，∠C = 120°，∠B = 30°，$AB = 2\sqrt{3}$，求AC的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 4. 解:过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
∵∠B = 30°,
∴AD = $\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$,BD = $\sqrt{AB^{2}-AD^{2}} = 3$,
在Rt△ACD中,设CD = x,
∵∠DAC = 30°,
∴AC = 2x,
则($\sqrt{3}$)² + x² = (2x)²,
∴CD = x = 1,
∴AC = 2CD = 2.

5. 如图，在△ABC中，∠C = 30°，∠B = 135°，$AB = 2\sqrt{2}$，求AC和BC的长.
　　　　

答案： 5. 解:过点A作AD⊥CB的延长线于点D.
∵∠ABD = 180° - ∠ABC = 45°,
∴AD = BD = 2,在Rt△ACD中,∠C = 30°,
∴AC = 2AD = 4,
CD = $\sqrt{AC^{2}-AD^{2}} = 2\sqrt{3}$,
BC = CD - BD = 2$\sqrt{3}-2$.

6. (1)【阅读材料】如图1，在Rt△ADC中，∠C = 90°，∠D = 22.5°，求$\frac{AC}{CD}$的值.
解：在CD上截取BC = AC，则∠ABC = ∠BAC = 45° = 2∠D，∴AB = BD，设AC = a，则BC = a，$AB = BD = \sqrt{2}a$，又∵$CD = BD + CB = (\sqrt{2} + 1)a$，$\frac{AC}{CD} = \frac{a}{(\sqrt{2} + 1)a} = \sqrt{2} - 1$.
(2)【实际运用】如图2，在Rt△ADC中，∠C = 90°，∠D = 15°，求$\frac{AC}{CD}$的值.
　

答案： 解:$\frac{CD}{AC}=2 - \sqrt{3}$. 提示:作AD的垂直平分线交CD于点B,则BD = AB.