《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

14. 比较下列各组数的大小：
（1）$2\sqrt{3}$与$\sqrt{11}$；（2）$-5\sqrt{3}$与$-4\sqrt{5}$.

答案： 解：用平方法比较：
(1)$2\sqrt{3}＞\sqrt{11}$；
(2)$-5\sqrt{3}＞-4\sqrt{5}$.

15. 已知长方形的长$a=\frac{1}{2}\sqrt{32}$，宽$b=\frac{1}{3}\sqrt{18}$.
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较它与长方形周长的大小关系.

答案： 解：
(1)$2(a + b)=2\times(\frac{1}{2}\sqrt{32}+\frac{1}{3}\sqrt{18}) = 6\sqrt{2}$，
$\therefore$长方形周长为$6\sqrt{2}$；
(2)$4\times\sqrt{ab}=4\times\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{32}\times\frac{1}{3}\sqrt{18}} = 4\times\sqrt{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = 8$，
$\because 6\sqrt{2}＞8$，$\therefore$长方形周长大.

16. 观察下列各式：①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$，……，请用含$n(n\geq1)$的式子写出以上算式的规律：__________________________.

答案： $\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$

17. 已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的值.

答案： 解：$\because x + y=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5},xy=\frac{5 - 1}{4}=1$，
$\therefore \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y^{2}+x^{2}}{xy}=\frac{(x + y)^{2}-2xy}{xy}=\frac{(\sqrt{5})^{2}-2\times1}{1}=3$.

18. 如图，实数$a$，$b$在数轴上的位置，且$\vert a\vert\gt\vert b\vert$，化简：$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{-b^{2}}-\sqrt{(a + b)^{2}}$.

答案： 解：由数轴可得$a＜0,b＞0,a + b＜0$，则$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a + b)^{2}}$
$=-a - b+(a + b)=0$.