《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

10. E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的形状是________，当AC与BD满足条件________时，四边形EFGH是矩形.

答案： 平行四边形 AC⊥BD

11. 如图，在四边形ABCD中，∠B = 90°，E，F分别是AB，CD上的点，BE = DF，AC，EF相交于点O且互相平分于点O.
求证：四边形ABCD是矩形.

答案： 证明：连接AF，CE，则四边形AECF为平行四边形，
∴CF//AE，
∵BE = DF，
∴CD//AB，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵∠B = 90°，
∴□ABCD是矩形.

12. 如图，在△ABC中，AB = AC. 将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
（2）连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形？并说明理由.

答案： 解：
(1)
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB，
∵AB//DE，
∴∠B = ∠DEC，
∴∠ACB = ∠DEC，
∴OE = OC，
即△OEC为等腰三角形；
(2)当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，
理由如下：
∵AB = AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE = EC，
∵BE//AD，BE = AD，
∴AD//EC，AD = EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴四边形AECD是矩形.

13. 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG = AE，连接CG，CF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

答案： 解：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AB//CD，OB = OD，OA = OC，
∴∠ABE = ∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE = $\frac{1}{2}$OB，DF = $\frac{1}{2}$OD，
∴BE = DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)当AC = 2AB时，四边形EGCF是矩形，理由如下：
∵AC = 2OA，AC = 2AB，
∴AB = OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG = 90°，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE = CF，∠AEB = ∠CFD，
∴∠AEO = ∠CFO，
∴AE//CF，又
∵AE = EG，
∴EG//CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG = 90°，
∴四边形EGCF是矩形.

14. 如图，O为□ABCD的对角线BD的中点，延长BA至点E，若AE = CD，DE = DB.
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若AB = 6，AD = 8，求EO的长；
（3）设OE交AD于点M，直接写出$\frac{EM}{OM}$的值.

答案： 解：
(1)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB = CD.
∵AE = CD，
∴AB = AE，
∵DE = DB，
∴DA⊥BE，
∴□ABCD为矩形；
(2)取AB的中点H，连接OH，
∵BO = DO，
∴OH//AD，OH = $\frac{1}{2}$AD = 4.
∴EH = AE + AH = AB + AH = 9，
∴∠EHO = ∠EAD = 90°，
∴EO = $\sqrt{EH^{2}+OH^{2}}$ = $\sqrt{97}$；
(3)延长MO交BC于点G，过点M作MF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，MF = AB = AE，
∴∠EMA = ∠MGF，∠DMO = ∠BGO，∠MDO = ∠OBG，又OD = OB，∠EAM = ∠MFG = 90°
∴△MDO≌△GBO，△EAM≌△MFG，
∴OM = OG，EM = MG，
∴EM = 2OM，
∴$\frac{EM}{OM}$ = 2.