《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

重点强化一　直接运用“十字架”模型→构造内K型全等
变式1　如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,DE⊥AG,BF⊥AG,垂足分别为点E,F.
　　　(1)求证:AF = DE;
　　　(2)过点C作CH⊥DE,垂足为点H,连接CF,AH. 求证:四边形AFCH为平行四边形.
　　　　　

答案： 证明:
(1)易证△ABF≌△DAE,
∴AF = DE;
(2)易证△ADE≌△DCH,
∴CH = DE.
∵DE = AF,
∴CH = AF.
∵AF⊥DE,DE⊥AG,
∴∠GED = ∠CHD = 90°.
∴AF//CH;
∵AF = CH,
∴四边形AFCH为平行四边形.

变式2　如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE⊥BF于点G,CH⊥BF于点H,BG = HG,若AB = 4,求CH的长.
　　　　

答案： 解:易证△ABG≌△BCH,
∴BH = AG,
CH = BG = GH,设CH = BG = x,则AG = 2x,
在Rt△ABG中,x² + (2x)² = 4²,
∴x = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$,
∴CH = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

变式3　如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE,过点A作AG⊥ED交DE于点F,交CD于点G.
　　　(1)求证:△ADG≌△DCE;
　　　(2)连接BF,求证:AB = FB.
　　　　　　　　　　

答案： 证明:
(1)略
(2)延长DE交AB延长线于点H;
∵E是BC中点，
∴BE = CE;
又
∵∠C = ∠HBE = 90°,∠DEC = ∠HEB,
∴△DCE≌△HBE.
∴BH = DC = AB,即B是AH的中点
又
∵∠AFH = 90°,
∴BF = $\frac{1}{2}$AH = AB.

重点强化二　构造“十字架”模型
变式4　如图,在正方形ABCD中,E,F,G分别是CD,BC,AD上一点,BE⊥GF于点M,M是BE的中点,求证:GF = 2CM.
　　　　　　　

答案： 证明:过点A作AH⊥BE交BC于点H，
易证四边形AHFG是平行四边形，
△ABH≌△BCE,
∴AH = BE = GF.
∵BM = EM,
∴BE = 2CM,
∴GF = 2CM.