《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

11. 教材变式 已知$x = \sqrt{3}+1,y = \sqrt{3}-1$,求下列各式的值：
(1)$x^{2}-2xy + y^{2}$； (2)$x^{2}-y^{2}$； (3)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$.

答案： 解:运用整体的思想,$x + y = 2\sqrt{3}$,$x - y = 2$,$xy = 2$.
(1)$x^{2}-2xy + y^{2}=(x - y)^{2}=4$;
(2)$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)=4\sqrt{3}$;
(3)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac{x^{2}-2xy + y^{2}+2xy}{xy}=\frac{(x - y)^{2}+2xy}{xy}=4$.

12. 已知$a = 1+\sqrt{2},b = \frac{1}{1 - \sqrt{2}}$,则$a$与$b$的关系是 （ ）
A. 互为相反数
B. 互为倒数
C. 相等
D. 互为负倒数

答案： A

13. 化简：(1)$(\sqrt{3}+1)^{2}=$_______； (2)$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=$_______.

答案：
(1)$4 + 2\sqrt{3}$
(2)$2\sqrt{3}$

14. 已知$m = 1+\sqrt{2},n = 1 - \sqrt{2}$,则$\sqrt{m^{2}+n^{2}-3mn}$的值是_______.

答案： 3

15. 计算：$(\sqrt{3}-2)^{2023}\cdot(\sqrt{3}+2)^{2024}=$_______.

答案： $-\sqrt{3}-2$

16. 计算：
(1)$(4\sqrt{3}+\sqrt{18})(\sqrt{48}-3\sqrt{2})$； (2)$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-\sqrt{24}$.

答案： 解:
(1)30;
(2)5.

17. 已知$a = \sqrt{2}-1$,求$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-2}$的值.

答案： 解:$\because a=\sqrt{2}-1$,$\therefore\frac{1}{a}=\sqrt{2}+1$,
$\therefore$原式$=\sqrt{(a - \frac{1}{a})^{2}}=\sqrt{4}=2$.

18. 基本事实：如果两个实数相等,那么它们的有理数部分和无理数部分必然分别相等.
(1)已知$a,b$均为有理数,且$a + 3\sqrt{2}=7+\sqrt{b}$,则$a =$_______,$b =$_______.
(2)已知$a,b$均为有理数,且$\sqrt{8}+(2 - 3\sqrt{2})^{2}=a + b\sqrt{2}$,求$a,b$的值.

答案： 解:
(1)$a = 7$,$b = 18$.
(2)$\because\sqrt{8}+(2 - 3\sqrt{2})^{2}=a + b\sqrt{2}$,$\therefore 22 - 10\sqrt{2}=a + b\sqrt{2}$,$\therefore a = 22$,$b = - 10$.