《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

10. 如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO = CO.
(1) 求证：△AOF≌△COE；
(2) 连接AE，CF，求证：AE//CF.

答案： 证明：
(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// BC,\therefore \angle OAF=\angle OCE,\because AO = CO,\angle AOF=\angle COE,$
$\therefore \triangle AOF\cong \triangle COE(ASA);$
(2)由
(1)得$\triangle AOF\cong \triangle COE,\therefore FO = EO$，又$\because AO = CO,\therefore$四边形$AECF$是平行四边形，$\therefore AE// CF.$

11. 如图，E是□ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD. BE交CD于点F. 添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是 (　　)

A. ∠ABD = ∠DCE
B. DF = CF
C. ∠AEB = ∠BCD
D. ∠AEC = ∠CBD

答案： C

12. 如图，在□ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且AE = CG，BF = DH. 求证：EG与FH互相平分.

答案： 证明：连接$GH,HE,EF,FG$，证$\triangle AHE\cong \triangle CFG,\triangle DHG\cong \triangle BFE,$
$\therefore HE = FG,HG = EF,$
$\therefore$四边形$HEFG$为平行四边形，
$\therefore EG$与$FH$互相平分.

13. 如图，点O是□ABCD对角线AC的中点，过点O的直线ME，NF分别交边于点M，E，N，F. 求证：MN≌EF.

答案： 证明：连接$MF,NE$，证$\triangle AOM\cong \triangle COE,$
$\triangle AOF\cong \triangle CON,\therefore OM = OE,OF = ON,$
$\therefore$四边形$MNEF$为平行四边形，$\therefore MN\underline{\underline{//}}EF.$

14. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，DE⊥AB，垂足为E，EB = BC，CE平分∠DCB；
(1) 求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2) 若AE = 3，BE = 5，求CE的长；
(3) 过点B作EC的垂线，交AD的延长线于点H，求证：DH = AE.

答案： 证明：
(1)$\because EB = BC,CE$平分$\angle DCB,$
$\therefore \angle CEB=\angle BCE=\angle DCE,\therefore DC// AB,\because AD// BC,$
$\therefore$四边形$ABCD$为平行四边形；
(2)解：$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，$EB = BC,$
$\therefore AD = BC = EB = 5,DC = AB = 8,\because DE\perp AB,$
$\therefore DE^{2}=AD^{2}-AE^{2}=16,EC=\sqrt{DE^{2}+DC^{2}}=4\sqrt{5};$
(3)证明：$\because EB = BC,BH\perp EC,\therefore \angle EBH=\angle CBH.$
$\because AD// BC,\therefore \angle H=\angle CBH,\therefore \angle H=\angle EBH,$
$\therefore AH = AB,\therefore AD + DH = AE + EB,$
$\because AD = BC = EB,\therefore DH = AE.$