《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 如图,在△ABC中,AC = BC,∠ACB = 90°,点M,N在直线AB上,且∠MCN = 45°,求证:AM² + BN² = MN².
　　　　　

答案： 证明：过点C向右作CD⊥CM，且CD = CM，连接BD，DN，易证△ACM≌△BCD，△CMN≌△CDN，
∴AM = BD，MN = DN，
∠ABD = 90°，
∴AM² + BN² = BD² + BN² = DN² = MN².

2. 如图,在Rt△ABC中,AB = AC,点D,E是直线BC上的点,∠DAE = 135°,求证:CD² + BE² = DE².
　

答案： 证明：过点A向上作AF⊥AD，且AF = AD，连接BF，
则△ABF≌△ACD，
∴BF = CD，且BF⊥CD.
连接EF，利用SAS可证△AEF≌△AED，
∴EF = DE，
∵BF² + BE² = EF²，
∴CD² + BE² = DE².

3. 如图,在△ABC中,AB = AC,∠BAC = 120°,点D,E都在边BC上,∠DAE = 60°,∠AED = 45°,求证:CE² + DE² = BD².
　

答案： 证明：在DA右侧作∠DAD' = 120°，且AD' = AD，连接CD'，D'E，易证△ABD≌△ACD'，△ADE≌△AD'E，∠DED' = 90°，
∴CE² + D'E² = CD'²，
∴CE² + DE² = BD².

4. 如图,在等边△ABC中,点E,F在BC上,∠EAF = 30°,BE = 3,CF = 5,求EF的长.
　　　

答案： 解：在AE右侧作∠EAD = 60°，且AD = AE，连接DF，CD，易证△ACD≌△ABE，△AEF≌△ADF，
∠DCF = 120°，过点D作DM⊥CF于点M，
则CM = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$BE = $\frac{3}{2}$，
∴FM = 5 + $\frac{3}{2}$ = $\frac{13}{2}$，
DM = $\sqrt{3}$CM = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴DF = $\sqrt{FM² + DM²}$ = 7，
∴EF = DF = 7.