《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 教材母题如图,有一个圆柱,它的高等于4,底面半径等于1,在圆柱的底面A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物,需要爬行的最短路程是多少?

答案：
解：把圆柱沿着过A点的高AA'剪开，得到如图所示的平面展开图，则蚂蚁应沿线段AB这条路线走时路程最短。AA' = 4，A'B = $\frac{1}{2}\times2\times\pi=\pi$，AB = $\sqrt{4^{2}+\pi^{2}}$，故最短路程是$\sqrt{16 + \pi^{2}}$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

2. 如图,一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处,食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处,蚂蚁急于吃到食物,所以沿着长方体的表面向上爬,请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?

答案：
解：在图1中，由勾股定理，得AB = $\sqrt{3^{2}+11^{2}}=\sqrt{130}$，在图2中，由勾股定理，得AB = $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$，因为$\sqrt{130}＞\sqrt{100}$，所以图2中的AB的长度为最短，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm。
　　　　　　　

3. 如图,△ABC为等腰直角三角形,AB = BC = 2,点Q为BC的中点,P为边AC上一动点,求△PBQ周长的最小值.

答案： 解：
∵BQ = 1，故只要求PB + PQ的最小值即可，作点B关于AC的对称点B'，连接B'Q交AC于点P，连接BP，CB'。易证∠BCB' = 90°，B'C = BC = 2，
∴QB' = $\sqrt{CQ^{2}+B'C^{2}}=\sqrt{5}$，
∴PB + PQ = PB' + PQ = B'Q = $\sqrt{5}$，
∴△PBQ周长的最小值为$\sqrt{5}+1$。

4. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AC = 6,BC = 8,AD是∠BAC的平分线,若点P,Q分别是AD和AC上的动点,求PC + PQ的最小值.

答案： 解：取点Q关于AD的对称点Q'，
则PC + PQ = PC + PQ'≥CQ'，故当CQ'⊥AB时，
PC + PQ的最小值即为CQ'的长，
由面积法可得CQ' = $\frac{24}{5}$。

5. 如图,在每个小正方形边长为1的网格中,△ABC的顶点A,B,C均在格点上,点D为AC边上的一点,在如图所示的网格中,AM是△ABC的角平分线,在AM上求一点P,使CP + DP的值最小.请仅用无刻度的直尺,画出AM和点P,并简要说明AM和点P的位置是如何找到的(不要求证明).

答案： 解：取格点E，连接AE交BC于点M，取格点F，易证△ACE≌△AFE，则AE平分∠CAB，连接DF交AM于点P，点P即为所求。