《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

8. 如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且点O是BD的中点,若AB = AD = 5,BD = 8,∠ABD = ∠CDB,则四边形ABCD的面积为__________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 24 解：证四边形ABCD是菱形即可.

9. 点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点,AC,BD交于点O,当四边形ABCD的对角线满足条件(　　　)时,四边形EFGH是菱形.
A. AC⊥BD
B. OA = OC,OB = OD
C. AC = BD
D. OA = OB

答案： C

10. 教材变式　如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE//AC,CE//BD.
(1)求证:四边形OCED为菱形;
(2)求证:AE = BE;
(3)若AB = 2,AC = 2√3,则菱形OCED的面积为__________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形ODEC为平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC = OD，
∴四边形OCED是菱形.
(2)
∵ED = EC，
∴∠EDC = ∠ECD，
∴∠ADE = ∠BCE，
∴△ADE≌△BCE，
∴AE = BE.
(3)连接OE，$S_{菱形OCED}=\frac{1}{2}OE\cdot CD=\frac{1}{2}BC\cdot CD = 2\sqrt{2}$.

11. 如图,矩形ABCD中,AB = 8,AD = 6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB,CD边于点E,F,DE = DF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若AB = 8,AD = 6,求EF的长.
　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)易证△DOF≌△BOE(ASA)，
∴DF = BE，
又
∵DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE = DF，
∴□BEDF是菱形.
(2)
∵DE = BE，EF⊥BD，OE = OF，设AE = x，
则DE = BE = 8 - x，
∵AE² + AD² = DE²，
∴$x^{2}+6^{2}=(8 - x)^{2}$，$x=\frac{7}{4}$，
∴$BE = DE = 8-\frac{7}{4}=\frac{25}{4}$，
∵BD = 10，$\frac{1}{2}BD\cdot EF = BE\cdot AD = S_{菱形DEBF}$，
$\frac{1}{2}\times10\times EF=\frac{25}{4}\times6$，
∴$EF=\frac{15}{2}$.

12. 在菱形ABCD中,将对角线AC分别向两边延长到点E和F,使得AE = CF. 连接DE,DF,BE,BF.
(1)如图1,求证:四边形BEDF是菱形;
(2)如图2,若∠FDC = 20°,∠DFC = 50°,过点C作DF的垂线,分别交DF,AB于点H,M. 求证:MC = 2HC.

答案： 解：
(1)连接DB，交EF于点O.
∵四边形ABCD为菱形，
∴OA = OC，OD = OB，DB⊥AC.
∵AE = CF，
∴OC + CF = OA + AE，即OF = OE，
∵OD = OB，
∴四边形BEDF为平行四边形.
∵DB⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形.
(2)
∵DB⊥EF，∠DFC = 50°，
∴∠FDO = 40°，
∵∠FDC = 20°，
∴∠CDO = 20° = ∠FDC，
∵CH⊥DF，
CO⊥DO，
∴CH = CO，∠HCD = ∠OCD = 70°，由菱形ABCD得DC//AB，
∴∠HCD = ∠CMA，
∠OCD = ∠CAM，
∴∠CAM = ∠CMA，
∴CM = CA = 2CO = 2CH.