《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

分类角度一　直角不明时要分类讨论
1. 在等腰△ABC中，AB = AC = 4，∠BAC = 45°，以AC为腰作等腰直角△ACD，∠CAD = 90°，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离.

答案：
解：有两种情况，画图如下：
①如图1，点B到CD的距离为$2\sqrt{2}$.
②如图2，点B到CD的距离为$4 - 2\sqrt{2}$.

分类角度二　动点位置不明时要分类讨论
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 5 cm，AC = 3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s，当△ABP为直角三角形时，求t的值.

答案：
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC = 4 cm. 由题意，知BP = t cm，
①当∠APB为直角时，如图1，点P与C重合，
BP = BC = 4 cm，
∴t = 4.
②当∠BAP为直角时，如图2，BP = t cm，
CP = (t - 4)cm，AC = 3 cm，
在Rt△ACP中，$AP^{2}=AC^{2}+CP^{2}=3^{2}+(t - 4)^{2}$，
在Rt△BAP中，$AB^{2}+AP^{2}=BP^{2}$，
即$5^{2}+[3^{2}+(t - 4)^{2}]=t^{2}$，解得$t=\frac{25}{4}$，
∴当△ABP为直角三角形时，t = 4或$t=\frac{25}{4}$.

分类角度三　腰不明时要分类讨论
3. 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为20 m，15 m，现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以20 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

答案：
解：
(1)如图1，当AD = AB时，DC = BC = 15，AD = 25，
∴周长为80 m.
(2)如图2，当AB = DB时，AB = 25 = DB，CD = 10，
$AD = 10\sqrt{5}$，
∴周长为$(50 + 10\sqrt{5})$m.
(3)如图3，当AD = DB时，设DC = x，则AD = x + 15，
∴$(x + 15)^{2}=x^{2}+20^{2}$，$x=\frac{35}{6}$，
∴周长为$\frac{200}{3}$m.

分类角度四　三角形形状不明时要分类讨论
4. 已知CD是△ABC的边AB上的高. 若CD = $\sqrt{3}$，AD = 1，AB = 2AC. 求BC的长.

答案：
解：分两种情况：①当∠CAB ＜ 90°时，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA = 90°，
∵CD = $\sqrt{3}$，AD = 1，
∴AC = 2，
∵AB = 2AC，
∴AB = 4，
∴BD = 4 - 1 = 3，
∴$BC=\sqrt{CD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{3^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{3}$；
②当∠CAB ＞ 90°时，如图2，同理得AC = 2，AB = 4，
∴$BC=\sqrt{CD^{2}+BD^{2}}=2\sqrt{7}$.
综上所述，BC的长为$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$.