《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

7. 教材变式 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，四边形ABCD的两条对角线满足条件________时，四边形EFGH是菱形；满足条件________时，四边形EFGH是矩形；满足条件________________________时，四边形EFGH是正方形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： AC = BD AC⊥BD AC = BD，AC⊥BD

8. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE = CF，依次连接B，F，D，E各点.
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC = 50°，则当∠EBA = ________°时，四边形BFDE是正方形.
　　　

答案： 解：
(1)在菱形ABCD中，BA = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA，
∴ ∠BAE = ∠BCF.
∴ △BAE≌△BCF(SAS)；
(2)∠EBA = 20°.

9. 如图，在四边形ABEC中，∠ACB = 90°，CE//AB，D为AB边上一点，DE⊥BC于点F，连接CD.
（1）求证：CE = AD；
（2）若D为AB的中点，则∠A的度数满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由.
　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DFB = 90°，
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACB = ∠DFB，
∴ AC//DE，
∵ CE//AD，
∴ 四边形ADEC是平行四边形，
∴ CE = AD；
(2)当∠A = 45°时，四边形BECD是正方形，理由如下：
∵ ∠ACB = 90°，∠A = 45°，
∴ ∠ABC = ∠A = 45°，
∴ AC = BC，
∵ D为BA中点，
∴ CD⊥AB，
∴ ∠CDB = 90°，易证CE⊥BD，
∴ 四边形BECD是平行四边形，
∵ AD = BD，
∠ACB = 90°，
∴ CD = BD，
∴ 四边形BECD是菱形，
∵ ∠CDB = 90°，
∴ 四边形BECD是正方形，
即当∠A = 45°时，四边形BECD是正方形.

10. 如图1，在矩形ABCD中，E为CD的延长线上一点，连接BD，AE，过点A作AH⊥AE交BC于点H，且AH = AE.
（1）求证：四边形ABCD为正方形；
（2）连接EH交BD于点M，求证：EM = HM；
（3）如图2，O为BD的中点，F为AE的中点，若EM = 2√5，CH = 4，求OF的长.
　　 　　

答案： 解：
(1)易证△ABH≌△ADE，
∴ AB = AD，
∴ 矩形ABCD为正方形.
(2)过点H作HN⊥BC交BD于点N，
则BH = HN = ED，
∴ △MHN≌△MED，
∴ EM = HM；
(3)连接AC，
∵ O为BD的中点，
∴ O为AC的中点，
又
∵ AF = EF，
∴ OF = $\frac{1}{2}$CE. 由
(2)知EM = HM = 2$\sqrt{5}$，
又CH = 4，
∴ CE = $\sqrt{EH^{2}-CH^{2}}$ = 8，
∴ OF = 4.