《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

难点突破一 等边三角形为背景→旋转60°
1. 如图,点P为等边△ABC内的一点,且PC=3,PB=4,PA=5.
　(1)画出将△BPC绕点B逆时针方向旋转60°后的图形;
　(2)求∠BPC的度数.
　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)图略；
(2)证△BPE为等边三角形，证AE² + PE² = AP²，
∴∠AEP = 90°，
∴∠BPC = ∠AEB = 150°。

难点突破二 等腰直角三角形为背景→旋转90°
2. 如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点D,E在AB上,且∠DCE=45°,BE=2,AD=3.
　(1)将△BCE绕点C逆时针旋转90°,在图中画出旋转后的图形;
　(2)求DE的长.
　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)图略；
(2)连接DF，证∠FAD = 90°，△DCE≌△DCF。
∵AF = BE = 2，
∴DE = DF = √(AF² + AD²) = √13。

3. 如图,点P为等腰直角△ABC内的一点,∠ACB=90°,PB=1,PC=2,PA=3,仿照上题求∠BPC的度数.
　　　　　

答案： 解：将△BCP绕点C顺时针旋转90°得△ACE，
证△PCE为等腰直角三角形，
∴PE = √2CE = 2√2，
证AE² + PE² = PA²，
∴∠AEP = 90°，
∴∠BPC = ∠AEC = 135°。

难点突破三 旋转60°(补形)→构造共顶点的两个等边三角形
4. 如图,在△ABC中,∠ABC=30°,AB=6,BC=8,△ACD是等边三角形,求BD的长.

答案： 解：以AB为边向外作等边△ABE，连接CE，
证△ABD≌△AEC，
∴BD = CE = √(BE² + BC²) = √(6² + 8²) = 10。

难点突破四 旋转90°(补形)→构造共顶点的两个等腰直角三角形
5. 如图,AB=AC,∠CAB=90°,∠ADC=45°,AD=4,CD=3,求BD的长.
　　　　

答案： 解：过点A向上作AD'⊥AD，AD' = AD，连接DD'，CD'，则△BAD≌△CAD'，
易证∠CDD' = 90°，DD' = √2AD = 4√2，
∴CD' = √(CD² + DD'²) = √41 = BD。