《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

重点强化一　折叠→构造直角三角形
1. 如图，在△ABC中，AB = 20，AC = 12，∠ACB = 90°，D是BC上一点，把△ABC沿直线AD折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积.
　　　　

答案： 解：设$CD = x$，$\because AB = 20$，$AC = 12$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore BC = 16$，$\because$把$\triangle ABC$折叠，
使$AB$落在直线$AC$上，$\therefore BD = B'D = 16 - x$，
$B'C = AB - AC = 20 - 12 = 8$，
$\angle DCB' = 90^{\circ}$，$\therefore$在$Rt\triangle DCB'$中，$CD^{2}+B'C^{2}=DB'^{2}$，
$\therefore x^{2}+8^{2}=(16 - x)^{2}$，解得$x = 6$，
$\therefore$重叠部分（阴影部分）的面积为$\frac{1}{2}\times12\times6 = 36$.

重点强化二　折叠→构造三垂直图形
2. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处. 已知点D的坐标为(10,8)，求点E的坐标.
　　　　

答案： 解：$AF = AD = 10$，$AO = 8$，$\therefore$在$Rt\triangle AOF$中，$OF = 6$，
$FC = OC - OF = 10 - 6 = 4$，
设$EC = a$，在$Rt\triangle EFC$中，$EC^{2}+FC^{2}=EF^{2}$，
$\therefore a^{2}+4^{2}=(8 - a)^{2}$，
$\therefore a = 3$，$\therefore E(10,3)$.

重点强化三　折叠→构造全等三角形
3. 如图，在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB = 6，BC = 4√6，求FD的长.
　　　

答案： 解：$\because \triangle EGF\cong\triangle EDF$，设$DF = GF = x$，
$CF = CD - DF = 6 - x$，在$Rt\triangle BFC$中，
$(6 + x)^{2}=(4\sqrt{6})^{2}+(6 - x)^{2}$，$\therefore x = 4$，$DF = 4$.

重点强化四　折叠→构造等腰三角形
4. 如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，BC = 8，AB = 4，求DF的长.
　　　　　

答案： 解：由翻折的性质，得$\angle 1 = \angle 2$，$\because \angle 1 = \angle 3$，$\therefore \angle 2 = \angle 3$，$\therefore BF = DF$，$\because AD = 8$，$\therefore AF = 8 - DF$，在$Rt\triangle ABF$中，$AB^{2}+AF^{2}=BF^{2}$，$\therefore 4^{2}+(8 - DF)^{2}=DF^{2}$，解得$DF = 5$.

5. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB = 8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕的一端点G在边BC上，折痕的另一端点F在边AD上，且BG = 10.
　(1)求证EF = EG；(2)求AF的长.
　　

答案： 解：
(1)$\because$纸片折叠后顶点$B$落在边$AD$上的点$E$处，
$\therefore \angle BGF = \angle EGF$，
$\because$长方形纸片$ABCD$的边$AD// BC$，$\therefore \angle BGF = \angle EFG$，$\therefore \angle EGF = \angle EFG$，$\therefore EF = EG$；
(2)$\because$纸片折叠后顶点$B$落在边$AD$上的点$E$处，
$\therefore EG = BG = 10$，$HE = AB = 8$，$FH = AF$，
$\therefore EF = EG = 10$，在$Rt\triangle EFH$中，
$FH = \sqrt{EF^{2}-HE^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$，$\therefore AF = FH = 6$.