《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 如图，在▱ABCD中，平行于AC的直线MN与DA，DC的延长线分别交于点M，N，与AB，BC分别交于点P，Q. 求证：MP = NQ.
　　　　

答案： 证明：方法1：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD//BC，
∴ ∠MPA = ∠N，
∠MAP = ∠D = ∠QCN，
∵ AC//MN，AM//CQ，
∴ 四边形AMQC是平行四边形.
∴ MA = CQ.
∴ △MAP≌△QCN.
∴ MP = QN；
方法2：证□AMQC，□APNC，
∴ MQ = AC = PN，
∴ MP = QN.

2. 如图，在▱ABCD中，M，N分别是CD，AB上的点，E，F分别是AC上的两点，若CM = AN，AE = CF. 求证：四边形MENF是平行四边形.
　　　　　　　

答案： 证明：证△AEN≌△CFM，
∴ MF = EN，
∠AEN = ∠CFM，
∴ ∠FEN = ∠MFE，
∴ MF//EN，
∴ MF$\equalparallel$EN，
∴ 四边形MENF为平行四边形.

3. 如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A = ∠F，∠1 = ∠2.
　(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
　(2)已知DE = 2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长.
　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵ ∠1 = ∠DMN，∠1 = ∠2，
∴ ∠DMN = ∠2.
∴ DB//EC.
∵ ∠A = ∠F，
∴ DF//AC.
∴ 四边形BCED是平行四边形；
(2)
∵ 四边形BCED是平行四边形，DE = 2，
∴ BC = DE = 2.
∵ BN平分∠DBC，DB//EC，
∴ ∠NBC = ∠DBN = ∠BNC，
∴ CN = BC = 2.

4. 如图，△ABC为等边三角形，D，F分别为BC，AB上的点，且CD = BF，以AD为边作等边△ADE，连接EF，CF.
　(1)求证：△ACD≌△CBF；
　(2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF = 30°？请说明理由.
　　　　　　　

答案： 解：
(1) 略；
(2) 当D是线段BC的中点时，
四边形CDEF是平行四边形且∠DEF = 30°.
理由如下：连接BE，由题意知AE = AD，AB = AC，
∠BAC = ∠EAD = 60°.
∴ ∠EAB + ∠BAD = ∠DAC + ∠BAD = 60°.
∴ ∠EAB = ∠DAC.
∴ △ABE≌△ACD.
又
∵ △ACD≌△CBF，
∴ EB = DC = FB，
∠EBA = ∠ACD = 60°.
∴ △EFB为等边三角形，
∴ EF = FB = CD，∠EFB = 60° = ∠ABC.
∴ EF//CD，又EF = CD，
∴ 四边形CDEF为平行四边形，
∴ ∠DEF = ∠BCF.
∵ D是线段BC的中点，
∴ BF = CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$AB，
∵ CA = CB，
∴ ∠BCF = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°，则∠DEF = ∠BCF = 30°.