《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AB = 5，AC = 6，BD = 8.
　(1)求证：四边形 ABCD 是菱形;
　(2)过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，求 AH 的长.
　　　

答案： 解:
(1)易得$AO = 3$，$BO = 4$，$AO^{2}+BO^{2}=25 = AB^{2}$，
∴∠AOB = 90°.
∴▱ABCD是菱形.　
(2)
∵▱ABCD是菱形，
∴BC = AB = 5.　$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD = BC\cdot AH$，$5AH = 24$，$AH=\frac{24}{5}$.

2. 如图，已知菱形 ABCD 的周长为 4√5，两条对角线的和为 6，求菱形 ABCD 的面积.
　　　　　

答案： 解:菱形ABCD，$AB=\sqrt{5}$，$AC = 2AO$，$BD = 2BO$，　∠AOB = 90°，
∴$AO^{2}+BO^{2}=AB^{2}=5$.
∴$AC^{2}+BD^{2}=4(AO^{2}+BO^{2}) = 20$.
∵AC + BD = 6，
∴$(AC + BD)^{2}=36$.
∴$AC^{2}+BD^{2}+2AC\cdot BD = 36$，$AC\cdot BD = 8$.
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD = 4$.

3. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E.
　(1)求证：四边形 ACDE 是平行四边形;
　(2)若 AC = 8，BD = 6，求△ADE 的周长.
　　　　　

答案： 解:
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，$AC\perp BD$.
∵DE⊥BD，
∴DE//AC.
∴四边形ACDE是平行四边形.　
(2)
∵四边形ABCD是菱形，$AC = 8$，$BD = 6$，
∴$AO = 4$，$BO = 3$，$CD = AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}} = 5$.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴$AE = CD = 5$，$DE = AC = 8$.
∴$AD + AE + DE = 5 + 5 + 8 = 18$.
∴△ADE的周长为18.

4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AC = 8，DB = 6，P，Q 分别为 AC，AD 上的动点.
　(1)求菱形 ABCD 的面积;
　(2)求 DP + PQ 的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times8\times6 = 24$；　
(2)连接$BP$，易证$DP = BP$，
∴$DP + PQ = BP + PQ$，当$B$，$P$，$Q$三点共线且$BQ\perp AD$时，$DP + PQ$取最小值，　最小值为$\frac{S_{菱形ABCD}}{AD}=\frac{24}{5}$.