《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 已知菱形ABCD中,∠BAD = 120°,E,F为射线BC和CD上一点,∠EAF = 60°.
　(1)如图1,若点E,F分别为边BC,CD上任意一点,探究BE,DF,AB之间的数量关系式;
　
　(2)如图2,若点E,F分别在BC,CD的延长线上,探究BE,DF,AB之间的数量关系.
　　　　

答案： 解:
(1)连接AC,则△ABC为等边三角形，
证△AEC≌△AFD，
∴CE = DF，
∴BE + DF = BE + CE = BC = AB.
(2)连接AC，证∠CAE = ∠DAF，
∵∠EAF = ∠ECF = 60°，
∴∠E = ∠F，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE = DF，
∴BE - DF = BE - CE = BC = AB.

2. 如图,菱形ABCD中,∠C = 60°,O为BD的中点,点E在AD上,点F在AB的延长线上,且∠EOF = 120°,求证:AE + BF = $\frac{1}{2}AB$.
　　　　　　　　

答案： 证明:过点O作OM//AB交AD于点M，
易证:OM = DM = OD = OB，
又
∵∠MOB = ∠EOF = 120°，
∴∠MOE = ∠BOF，
∵∠OME = ∠OBF = 120°，
∴△OME≌△OBF，
∴EM = BF，
∴AE + BF = AE + EM = AM = $\frac{1}{2}AB$.

3. 如图,菱形ABCD中,∠C = 60°,O为BD的中点,E,F分别在DA,AB的延长线上,∠EOF = 120°,试探究AE,BF,AB之间的数量关系式.
　　　　

答案： 解:过点O作OM//AB交AD于点M，
易证△OME≌△OBF，
∴EM = BF，
∴BF - AE = EM - AE = AM = $\frac{1}{2}AB$.

4. 如图,在菱形ABCD中,∠ABC = 60°,P为AC上一点,E为射线BC上一点,且PD = PE.
　求证:(1)∠DPE = 60°;　(2)AP = CE;　(3)CP + CE = CD.
　　　　

答案： 证明:
(1)连接PB，易证△PCB≌△PCD，
∴PD = PB = PE，
∴∠PDC = ∠PBC = ∠E，
∴∠DPE = ∠DCE = 60°；
(2)过点P作PF//BE交AB于点F，
易证△PCE≌△BFP，
∴CE = PF，易证△APF为等边三角形，
∴AP = CE；
(3)CP + CE = CP + AP = AC = CD.