《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 如图，$M$，$P$分别为$\triangle ABC$的边$AB$，$AC$上的点，且$AM = BM$，$AP = 2CP$，$BP$与$CM$相交于点$N$，$PN = 1$，求$PB$的长.
　

答案： 解：取BP的中点H，连接MH，
∵M为AB的中点，
∴MH//AP，AP = 2MH.
∵AP = 2CP，
∴MH = CP，MH//AP.
∴四边形MHCP为平行四边形（或证△MHN≌△CPN）.
∴HN = PN = 1.
∵H为BP的中点，
∴BP = 2HP = 4.

2. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle EBF$中，$\angle ABC = \angle FEB = 90^{\circ}$，$BA = BC$，$EF = EB$，$M$为$AF$的中点，连接$CF$，$ME$.
求证：$CF = 2ME$.
　

答案： 证明：延长FE至点N，使EN = FE，连接AN，BN.
∵M为AF的中点，
∴AN = 2ME，
∵∠BEF = 90°，
EF = EN，
∴BN = BF. 易证∠ABC = ∠FBN = 90°，
∴∠ABN = ∠FBC，又
∵AB = BC，
∴△CBF≌△ABN.
∴CF = AN = 2ME.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，点$M$为$BC$的中点，$AD$为$\triangle ABC$的外角平分线，且$AD \perp BD$，若$AB = 12$，$AC = 18$，求$DM$的长.
　

答案： 解：延长BD，CA交于点N，由题意得∠NAD = ∠BAD，∠ADN = ∠ADB = 90°. AD = AD，
∴△AND≌△ABD.
∴DN = DB，AN = AB. 又
∵M为BC的中点，
∴DM = $\frac{1}{2}$NC = $\frac{1}{2}$(AN + AC) = $\frac{1}{2}$(AB + AC) = 15.

4. 如图，$\angle BDA = \angle AEC = 90^{\circ}$，$DB = DA$，$EA = EC$，$M$是$BC$的中点，连接$DM$，$EM$. 求证：$DM = EM$.

答案： 证明：分别取AB，AC的中点F，G，连接MF，MG，DF，GE. 易证四边形AFMG为平行四边形.
∴FM = AG = GC = GE，MG = AF = BF = DF，
∠AFM = ∠AGM，易证∠DFM = ∠MGE，
∴△DFM≌△MGE.
∴DM = EM.