《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

1. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD = 75°.
　(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为点E，交AD于点F；(不要求写作法，保留作图痕迹)
　(2)在(1)条件下，连接BF，求∠DBF的度数.
　　　　　　　　

答案： 解：
(1)略.
(2)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 75^{\circ}$，
∴ $\angle ABC = 150^{\circ}$，
∵ $\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，
∴ $\angle C=\angle A = 30^{\circ}$，
∵ EF垂直平分线段AB，
∴ $AF = FB$，
∴ $\angle FBA = 30^{\circ}$，
∴ $\angle DBF=\angle ABD-\angle FBE = 45^{\circ}$.

2. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.
　(1)请完成作图，并证明AB = BE；
　(2)若∠BCD = 80°，求∠AEC的度数.
　　　　　　　　

答案： 解：
(1)如图，
∵ $\square ABCD$，
∴ $AD// BC$，
∴ $\angle DAE=\angle AEB$.
∵ AE平分$\angle BAD$，
∴ $\angle BAE=\angle DAE=\angle AEB$，
∴ $AB = BE$；
(2)易证$\angle ABC = 140^{\circ}$，$AB = BE$，
∴ $\angle BEA = 40^{\circ}$，$\angle AEC = 140^{\circ}$.

3. 如图，BD是矩形ABCD的对角线.
　(1)在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE = BF；分别以E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}$EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P. 请画出图形，并保留作图痕迹；
　(2)在(1)的条件下，若AB = 6，AD = 8，求S_{△BPD}.
　　　　　　　　

答案： 解：
(1)略；
(2)过点P作$PM\perp BD$于点M，
由
(1)知BP平分$\angle ABD$，
故设$AP = PM = x$，则$PD = 8 - x$，
易证$AB = BM = 6$，$BD = 10$，
∴ $DM = 4$，在$Rt\triangle PMD$中有：$x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2}$，
∴ $x = 3$，
∴ $S_{\triangle BPD}=\frac{1}{2}BD\cdot PM=\frac{1}{2}\times10\times3 = 15$.

4. 正方形ABCD中，AB = 4，E为CD上一点.
　(1)用尺规作图法作AF⊥BE交BC于点F，垂足为H(保留作图痕迹)；
　(2)在(1)的条件下，若AE = AF，求HE的长.
　　　　　　　

答案： 解：
(1)在BC上截取$BF = CE$，连接AF交BE于点H.
(2)易证$BE = AF = AE$，$DE = EC = 2$，
∴ $AF = BE = 2\sqrt{5}$，
$BF = CE = 2$，$BH=\frac{AB\cdot BF}{AF}=\frac{4}{5}\sqrt{5}$，
$HE = BE - BH=\frac{6}{5}\sqrt{5}$.