《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

[方法技巧]证“$a = 2b$”型问题常取中点或倍长,构造三角形中位线来解决问题.
重点强化一 取中点→构造三角形中位线
1. 如图,点$O$为正方形$ABCD$的对角线的交点,$AE$平分$\angle BAC$交$BC$于点$E$,交$OB$于点$F$.
求证:$CE = 2OF$(多种方法).
证法一:
证法二:
重点强化二 倍长→构造三角形中位线
证法三:

重点强化三 倍长或作平行线→构造三角形全等
证法四:

重点强化四 作垂线→利用勾股定理转化
证法五:

答案： 题型研究专题 正方形(一)$a = 2b$型
@@1.证法一：取$AE$的中点$M$，构造$CE = 2OM$，再证$OM = OF$即可.证法二：取$CE$的中点$M$，连$OM$，再证$EM = OF$即可，故可先证$BE = BF$，$BO = BM$.
@@证法三：延长$AF$至点$M$，使$FM = AF$，易证$CM = 2OF$，再证$CE = CM$即可.
@@证法四：过点$C$作$CM// AE$交$OD$于点$M$，易证$OM = OF$，再证$CE = FM$即可，故可先证$BE = BF$，$BC = BM$.
@@证法五：过点$F$作$FM\perp AB$于点$M$，过点$E$作$EN\perp AC$于点$N$.则$FO = FM$，$EN = EB$，易证$BE = BF$，$\therefore CE=\sqrt{2}EN=\sqrt{2}EB=\sqrt{2}BF=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}FM = 2FM = 2OF$.