《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

难点突破一 构$a$为底$c$为腰的等腰直角三角形→证$a = \sqrt{2}c$
1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，点$D$为$BC$的中点，若点$E$，$F$分别在$AB$，$AC$上，且$AE =$$CF$，连接$DE$，$EF$，求证：$EF = \sqrt{2}DE$.
　

答案： 证明：连接$DA,DF$，则$\triangle ADE\cong\triangle CDF$，证$\triangle DEF$为等腰直角三角形即可.

难点突破二 构$a\pm b$为底$c$为腰的等腰直角三角形→证$a\pm b = \sqrt{2}c$
2. 已知$\angle BCD = \alpha$，$\angle BAD = \beta$，$CB = CD$.
(1)如图1，若$\alpha = \beta = 90^{\circ}$，求证：$AB + AD = \sqrt{2}AC$；
　　　　　　
(2)如图2，若$\alpha = \beta = 90^{\circ}$，求证：$AB - AD = \sqrt{2}AC$；
　　　　　　　
难点突破三 构$a\pm b$为底$c$为腰顶角为$120^{\circ}$的等腰三角形→$a\pm b = \sqrt{3}c$
(3)如图3，若$\alpha = 120^{\circ}$，$\beta = 60^{\circ}$，求证：$AB + AD = \sqrt{3}AC$；
　　　　　　　　　
(4)如图4，若$\alpha = \beta = 120^{\circ}$，探究$AB$，$AD$，$AC$之间的数量关系.
　　　

答案：
(1) 证明：延长$AB$至点$E$，使$BE = AD$，连接$CE$，则$\triangle CBE\cong\triangle CDA$，$\triangle ACE$为等腰直角三角形，$\therefore AB + AD = AE=\sqrt{2}AC$.【点评】以上方法是将$AB + AD$与$AC$转化到一个等腰直角三角形中去，此处还可证明$AC$是$\angle BAD$的平分线.
(2) 在$AB$上截取$BE = AD$，连接$CE$，则$\triangle CBE\cong\triangle CDA$，$\therefore AB - AD = AE=\sqrt{2}AC$.【点评】还可证$AC$平分$\angle BAD$的外角.
@@
(3) 延长$AB$至点$E$，使$BE = AD$，连接$CE$. 以下同
(1)类似；
(4)$AB - AD=\sqrt{3}AC$.