《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

13. 如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证:DF = BE.
　　

答案： 证明：连接AC，证CE = CF，△BCE≌△DCF即可.

14. 如图,四边形ABCD中,E为BC的中点,四边形AECD为菱形,EF⊥CD于点F.
(1)求证:AB⊥AC;
(2)若AB = 6,BC = 10,求EF的长.
　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵EA = EB = EC，
∴∠B = ∠BAE，
∠EAC = ∠ECA，
∴∠BAC = 90°，
∴AB⊥AC；
(2)过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB·AC = BC·AH，
∴6×8 = 10·AH，
∴AH = $\frac{24}{5}$，
又
∵CE·AH = CD·EF，
∴EF = AH = $\frac{24}{5}$.

15. 如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC = 24,点E,F分别是边CD,BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G,求EG的长.
　　　　　　

答案： 解：连接BD，交AC于点O，
∵菱形ABCD的边长为13，点E，F分别是边CD，
BC的中点，
∴AB//CD，AB = BC = CD = DA = 13，
EF//BD，
∵AC，BD是菱形的对角线，AC = 24，
∴AC⊥BD，AO = CO = 12，
OB = OD，又
∵AB//CD，EF//BD，
∴DE//BG，
BD//EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD = EG，在△COD中，
∵OC⊥OD，CD = 13，CO = 12，
∴OB = OD = $\sqrt{13^{2}-12^{2}}$ = 5，
∴BD = 2OD = 10，
∴EG = BD = 10.

16. 在菱形ABCD中,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E.
(1)如图1,若AB = 5,AC = 6,求线段DE的长;
(2)如图2,F为BA上一动点,G为BC延长线上一点，∠FDG =∠BAD. 求证:DF = DG.
　　　 　

答案： 解：
(1)连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
AC = 6，
∴AC⊥BD，OA = OC = 3，BD = 2OB，
∵AB = 5，
∴OB = 4，
∴BD = 2OB = 8，
∵S_{菱形ABCD} = AB·DE = $\frac{1}{2}$AC·BD，5DE = 24，
∴DE = $\frac{24}{5}$；
(2)连接BD，过点D作DH⊥BG，垂足为H.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD//BC，BD平分∠ABC.
∵DH⊥BG，DE⊥BA，
∴DE = DH.
∵AD//BC，
∴∠BAD + ∠ABC = 180°.
∵∠FDG = ∠BAD，
∴∠FDG + ∠ABC = 180°，
∵∠FDG + ∠ABC + ∠BFD + ∠G = 360°，
∴∠BFD + ∠G = 180°，
∵∠BFD + ∠EFD = 180°，
∴∠EFD = ∠G，又∠E = ∠DHG = 90°，
∴△DFE≌△DGH，
∴DF = DG.