《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

9. 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF = 60°，BE = 2，DF = 3，求□ABCD的周长和面积.
　

答案： 解:周长 = 20；面积 = 12√3.

10. 如图，在□ABCD中，AF，BE分别平分∠BAD与∠ABC，交BC，AD于点F，E. (1)AF与BE的位置关系是________；(2)若AF = 4，BE = 8，则AB的长为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： AF⊥BE 2√5

11. 在□ABCD中，∠A = 30°，AD = 4√3，BD = 4，求□ABCD的面积.

答案：
解:过点D作DE⊥AB于点E，易得DE = 1/2AD = 2√3，AE = √3/2AD = 6，BE = √(BD² - DE²) = 2.
①当点E在AB边上时，如图1，
▱ABCD的面积 = AB·DE = 8×2√3 = 16√3；
②当点E在AB的延长线上时，如图2，
▱ABCD的面积 = AB·DE = 4×2√3 = 8√3.
综上，▱ABCD的面积为16√3或8√3；

12. 如图，F是□ABCD的边CD延长线上一点，BF交AC于点E，AD = AE = BE.
(1)求证：AF = BC；
(2)若∠ADC = 102°，求∠BAC的度数.
　　　　　　　

答案： 解:
(1)
∵AE = BE，
∴∠EAB = ∠EBA.由▱ABCD得CD//AB，
∴∠FCE = ∠EAB，∠CFE = ∠EBA，
∴∠CFE = ∠ECF，
∴EF = EC.
∵∠FEA = ∠CEB，AE = BE，
∴△FEA≌△CEB，
∴AF = BC.
(2)设∠CAB = x，则∠FCE = x，∠EBA = x.由▱ABCD得AD//BC，AD = BC = EB，
∴∠BCE = ∠BEC = ∠EAB + ∠EBA = 2x. ∠ADC + ∠DCB = 180°，
∵∠ADC = 102°，
∴102° + x + 2x = 180°，
∴x = 26°，即∠BAC = 26°.

13. 如图，□ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，AB = CF，连接DE，DF.
(1)求证：DF² + BF² = DE²；
(2)G为DE的中点，连接CG. 若AD = 3，求CG的长.
　　　　　　　　　

答案： 证明:
(1)
∵△BEF为等边三角形，
∴BF = EF = BE，∠BFE = ∠FBE = 60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AB = DC，AB//CD，
∴∠DCB = ∠FBE = 60°.
∵AB = CF，
∴DC = CF，
∴∠CDF = ∠CFD = 1/2∠DCB = 30°，
∴∠DFE = ∠CFD + ∠BFE = 90°，
∴DF² + BF² = DF² + EF² = DE².
(2)解:延长CG交BE于点H，
∵DC//AB，
∴∠CDG = ∠GEH，又DG = GE，∠CGD = ∠EGH，
∴△CDG≌△HEG，
∴CG = GH，CD = HE. 又CD = CF，
∴CF = HE，又BF = BE，
∴BF - CF = BE - HE，即BC = BH. 又∠FBE = 60°，
∴△BCH为等边三角形，
∴CH = BC = AD = 3，
∴CG = GH = 1/2CH = 3/2.