《2025年探究学案课时卷八年级数学下册人教版》

8. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD = 12 cm,BC = 8 cm,P,Q两点分别从点A、C同时出发,点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以2 cm/s的速度由点C出发向点B运动,______s后四边形ABQP是平行四边形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： $\frac{8}{3}$

9. 在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,CA = CB = 2,D是△ABC所在平面内一点,以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则BD的长为______.

答案： 2或$2\sqrt{5}$

10. 如图,在□ABCD中AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE,求证:四边形AECF为平行四边形.
　　　　

答案： 证明:(方法一)证△ABE≌△CDF,
∴ AE//CF,
∴ 四边形AECF为平行四边形.
(方法二)证△ABE≌△CDF,
∴ BE = DF,
∴ BF = DE,
∴ △ABF≌△CDE,
∴ ∠AFB = ∠DEC,
∴ AF//CE.
∵ AE//CF,
∴ 四边形AECF为平行四边形.
(方法三)连接AC交BD于点O,
∵ AO = CO,
∴ △AOE≌△COF,
∴ OE = OF,
∴ 四边形AECF为平行四边形.

11. 如图,在3×3的正方形网格中,以线段AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多可以画______个,请一一在下图中画出来.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 5

12. 如图,A(0,a),B(b,0),D(c,a),且$\sqrt{a - 2}+\sqrt{b + 2}+|c - 2| = 0$.
(1)求证:四边形ABOD为平行四边形;
(2)BE平分∠ABO交OD于点E,F为AB的中点,OF交BE于点H.
①求证:DE = OH;
②求OH的长.
　　　

答案：
(1)证明:
∵ $\sqrt{a - 2}\geq0,\sqrt{b + 2}\geq0,|c - 2|\geq0$,
$\sqrt{a - 2}+\sqrt{b + 2}+|c - 2| = 0$,
∴ $\sqrt{a - 2}=0,\sqrt{b + 2}=0,|c - 2| = 0$,
∴ a = 2,c = 2,b = - 2,
∴ A(0,2),B(- 2,0),D(2,2),
∴ AD//OB,AD = OB,
∴ 四边形ABOD为平行四边形;
(2)①证明:连接AE,
∵ OA = OB,∠AOB = 90°,
∴ ∠ABO = 45°.
∵ 四边形ABOD为平行四边形,
AB//OD,BE平分∠ABO,
∴ ∠OBE = ∠ABE = ∠OEB = 22.5°.
∴ OE = OB = 2.
易证OA = OB = OE,∠AOE = 45°,
∴ ∠OAE = ∠OEA = 67.5°,
∴ ∠DAE = 90° - ∠OAE = 22.5°, ∠DAE = ∠EBO.
易证∠BOH = 45° = ∠D,AD = OB,
∴ △ADE≌△BOH,
∴ DE = OH.
②
∵ DE = OD - OE = $\sqrt{2}$OA - OE = $2\sqrt{2}-2$,
∴ OH = $2\sqrt{2}-2$.