《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

9. 草船借箭是一个流行很广的故事.按照这个故事所说,我们假定诸葛亮一共派出大小草船共20艘,回来清点发现小船平均每艘上借的箭约有4800支,大船平均每艘上借的箭约有6200支,已知一共借箭112800支,设派出大船$x$艘,则下列说法正确的是(B)

A.依题意,得$4800x + 6200(20 - x)=112800$
B.依题意,得$4800(20 - x)+6200x = 112800$
C.派出大船8艘
D.派出小船14艘

答案： B 派出大船$x$艘，则派出小船$(20 - x)$艘。依题意，得$4800 · (20 - x) + 6200x = 112800$，解得$x = 12$，$\therefore 20 - x = 20 - 12 = 8$，$\therefore$派出大船$12$艘，派出小船$8$艘。只有选项B中的说法正确。

10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,在四边形$ABCD$中,$BD$垂直平分$AC$,过点$A$作$MA\perp AC$,以$D$为顶点,在$AD$的左侧作$\angle ADN=\angle BCD$,$DN$交$AM$于点$E$.

求证:四边形$ABDE$是平行四边形.
证明:$\because BD$垂直平分$AC$,$\therefore AD = CD$,$AB = BC$.
又$\because BD = BD$,$\therefore\triangle ADB\cong\triangle CDB$( ① ),
$\therefore\angle DAB=\angle DCB$.
$\because\angle BCD=\angle ADE$,$\therefore\angle ADE=\angle DAB$,$\therefore$ ②.
$\because AE\perp AC$,$BD\perp AC$,$\therefore AE// BD$,
$\therefore$四边形$ABDE$是平行四边形.
若以上解答过程正确,则①,②处应分别为(B)

A.$SAS$,$DE = AB$
B.$SSS$,$DE// AB$
C.$SAS$,$DE// AB$
D.$SSS$,$DE = AB$

答案： B

11. 小明在解关于$x$的一元二次方程$2mx^{2}-nx + 2 = 0(m\neq0,n\neq0)$时,把一次项的符号抄成“$+$”,得到其中一个根是$x = -2$,则方程$2mx^{2}-nx + 2 = 0$根的情况是(C)

A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个实数根
D.有一个根是$x = -2$

答案： C 由题意知，$x = -2$是一元二次方程$2mx^2 + nx + 2 = 0$的一个根，$\therefore 8m - 2n + 2 = 0$，$\therefore 4m = n - 1$①，$\therefore$对于方程$2mx^2 - nx + 2 = 0$，$\Delta = (-n)^2 - 4 × 2m × 2 = n^2 - 4 × 4m = n^2 - 4(n - 1) = n^2 - 4n + 4 = (n - 2)^2 \geqslant 0$，$\therefore$该方程有两个实数根。若$x = -2$是方程$2mx^2 - nx + 2 = 0$的一个根，则$8m + 2n + 2 = 0$②。② - ①×2，得$4n = 0$，$\therefore n = 0$，与$n \neq 0$矛盾，故$x = -2$不是方程$2mx^2 - nx + 2 = 0$的一个根。故选C。

12. 如图,已知正六边形$ABCDEF$的顶点$A$在直线$l$上,$G$是$AB$的中点,连接$EG$并延长交直线$l$于点$H$,若$\angle BAH = 30^{\circ}$,$CD = 2$,则$\tan\angle FEH$的值是(A)

A.$\frac{3}{5}\sqrt{3}$
B.$\frac{5}{3}\sqrt{3}$
C.$\frac{5}{9}\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{5}$

答案：
A 如图，延长$EF$交直线$l$于点$M$，过点$G$作$GN \perp AH$于点$N$。易知正六边形每个内角均为$120°$，$\therefore \angle AFM = 180° - \angle AFE = 60°$，$\angle FAM = 180° - \angle BAH - \angle BAF = 30°$，$\therefore \angle AMF = 180° - 60° - 30° = 90°$。在$Rt \triangle AFM$中，$\angle FAM = 30°$，$\therefore FM = \frac{1}{2}AF = 1$，$AM = \frac{\sqrt{3}}{2}AF = \sqrt{3}$，$\therefore EM = EF + FM = 2 + 1 = 3$（关键点1：求出$EM$的长）。在$Rt \triangle AGN$中，$AG = \frac{1}{2}AB = 1$，$\angle GAN = 30°$，$\therefore GN = \frac{1}{2}AG = \frac{1}{2}$，$AN = \frac{\sqrt{3}}{2}AG = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore MN = MA + AN = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。易证$GN // EM$，$\therefore \triangle HGN \sim \triangle HEM$（点拨：“A”字型相似模型），$\therefore \frac{GN}{EM} = \frac{HN}{HM}$，即$\frac{1}{3} = \frac{HN}{HN + \frac{3\sqrt{3}}{2}}$，$\therefore HN = \frac{3\sqrt{3}}{10}$，$\therefore MH = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{10} = \frac{9\sqrt{3}}{5}$（关键点2：求出$MH$的长），$\therefore \tan \angle FEH = \frac{HM}{EM} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{5}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{5}$。

13. 若$\sqrt{8}×\sqrt{m}=\frac{1}{2}$,则$m =$$\frac{1}{32}$.

答案： $\frac{1}{32}$ 【解析】$\because \sqrt{8} × \sqrt{m} = \frac{1}{2}$，$\therefore \sqrt{8m} = \frac{1}{2}$，$\therefore 8m = \frac{1}{4}$，$\therefore m = \frac{1}{32}$。

14. 计算:$2025^{2}-2024×2026=$1.

答案： 1 【解析】原式$= 2025^2 - (2025 - 1)(2025 + 1) = 2025^2 - (2025^2 - 1) = 1$。

15. 如图,四边形$ABCD$是菱形,对角线$AC$所在直线是一条水平直线,过点$A$作一条竖直直线$l$,将直线$l$沿水平方向向右平移,在平移过程中,直线$l$落在菱形$ABCD$内部的线段长记作$m$.若$AB=\frac{5}{4}$,$AC = 2$,则正整数$m$的值是1.

答案：
1 【解析】如图，连接$BD$交$AC$于点$O$。$\because$四边形$ABCD$是菱形，$AC = 2$，$\therefore AC \perp BD$，$AO = OC = \frac{1}{2}AC = 1$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD$。在$Rt \triangle AOB$中，$OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{(\frac{5}{4})^2 - 1^2} = \frac{3}{4}$，$\therefore BD = 2OB = \frac{3}{2}$。易知$0 ＜ m \leqslant \frac{3}{2}$。又$\because m$是正整数，$\therefore m = 1$。

16. 如图,已知点$A(2,3)$和点$B$均在双曲线$y=\frac{k}{x}$上,点$B$的横坐标为$t(t ＜ 0)$,连接$AB$交$x$轴于$C$点.若$C$点的横坐标为$m$,则$t =$$m - 2$.(用含$m$的代数式表示)

答案：
$m - 2$ 【解析】$\because$点$A(2, 3)$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上，$\therefore k = 2 × 3 = 6$，$\therefore$反比例函数的解析式为$y = \frac{6}{x}$，$\therefore B(t, \frac{6}{t})$。由题意可知，点$C(m, 0)$，设直线$AB$的解析式为$y = ax + b$，将$A(2, 3)$，$B(t, \frac{6}{t})$分别代入，得$\begin{cases} 2a + b = 3 \\ at + b = \frac{6}{t} \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -\frac{3}{t} \\ b = \frac{3t + 6}{t} \end{cases}$ $\therefore$直线$AB$的解析式为$y = -\frac{3}{t}x + \frac{3t + 6}{t}$，将$C(m, 0)$代入，得$-\frac{3}{t}m + \frac{3t + 6}{t} = 0$，$\therefore t = m - 2$。