《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

21. （本小题满分9分）
某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则。
|计价规则|
|--|
|货物质量不超过10kg时，单价为6元/kg；|
|货物质量超过10kg但不超过20kg时，超过10kg部分单价为5元/kg；|
|货物质量超出20kg时，超出20kg的部分单价为4元/kg，并一次性额外收取30元的碳排放附加费。|
设货物质量为$x$（kg），运费为$y$（元）。
（1）若货物A质量为8kg，货物B质量为15kg，分别计算两个货物的运费；
（2）当$x ＞ 20$时，求$y$与$x$之间的函数关系式；
（3）若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少。

答案： 21. 名师教审题
函数的实际应用题系列。本题为分段计费问题，各段收费规则如下：
货物质量 收费标准
第一段 不超过10kg的部分 6元/kg
第二段 超过10kg但不超过20kg的部分 5元/kg
第三段 超过20kg的部分 4元/kg，并额外收取30元
(1)当x = 8时，y = 8×6 = 48；
当x = 15时，y = 6×10 + 5×(15 - 10) = 85。
答：货物A的运费为48元，货物B的运费为85元。
(2)由题意可得，当x＞20时，y = 6×10 + 5×10 + 4(x - 20) + 30 = 4x + 60。
(3)
∵当x = 20时，y = 6×10 + 5×10 = 110＜170，
∴当运费为170元时，x＞20，
∴4x + 60 = 170，解得x = 27.5。
答：该货物质量为27.5千克。

22. （本小题满分9分）
背景：如图（1）是文具店正在销售的某种文件夹，图（2）为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与

龙

骨截线$PH$垂直，且$PH$垂直于底板$MN$，$PH = 6$mm，夹纸板截线$PB$与扣板截线$PA$的夹角始终保持$135^{\circ}$。
测量：如图（2）（甲），未装入纸张时，点$B$落在$MN$上，此时$\angle BPH = 30^{\circ}$。如图（2）（乙），装满纸张时，点$A$落在$MN$上，此时$\angle APH = 45^{\circ}$。
计算：借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号）
（1）求夹纸板截线$PB$与扣板截线$PA$的长；
（2）如图（2）（丙），装入30张纸后测得$\angle APH = 75^{\circ}$，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度；
（3）直接写出未装入纸张时$A$，$H$两点之间的距离。

答案：
22. 名师教审题解直角三角形的实际应用题系列审题后，将获取的信息在图中标注出来，如下：


(1)在题图
(2)(甲)中，
∵∠BPH = 30°，PH = 6mm，
∴PB = $\frac{PH}{cos30°}$ = 6÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 4$\sqrt{3}$(mm)。
在题图
(2)(乙)中，
∵∠APH = 45°，PH = 6mm，
∴PA = $\frac{PH}{cos45°}$ = 6÷$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 6$\sqrt{2}$(mm)。
(2)如图
(1)，设纸张的上边缘与PH交于点Q，由题意知BQ⊥PH。

∵∠BPA = 135°，∠APH = 75°，
∴∠BPH = 60°。
又
∵PB = 4$\sqrt{3}$mm，
∴PQ = PB·cos60° = 4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$ = 2$\sqrt{3}$(mm)，
∴HQ = (6 - 2$\sqrt{3}$)mm，
∴每张纸的厚度为$\frac{6 - 2\sqrt{3}}{30}$ = $\frac{3 - \sqrt{3}}{15}$(mm)。
(3)(3$\sqrt{2}$ + 3$\sqrt{6}$)mm。
解法提示：
如图
(2)，连接AH，过点A作AC⊥HP于点C，在HN上取点K，使PH = HK，连接PK，AK，则∠1 = 45°，PK = 6$\sqrt{2}$ = AP，
巧作辅助线：①欲求AH，则构造Rt△ACH；
②猜想AC = CH，故构造等边三角形APK。

∴∠2 = 135° - 30° - 45° = 60°，
∴△APK是等边三角形（依据：一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AP = AK；
又
∵PH = HK，
∴AH垂直平分线段PK（依据：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴∠AHC = 45°，
∴AC = CH；
设PC = x，则AC = CH = x + 6。
∵PC² + AC² = AP²，
∴x² + (x + 6)² = (6$\sqrt{2}$)²，解得x = 3$\sqrt{3}$ - 3（负值已舍），
∴CH = x + 6 = 3$\sqrt{3}$ + 3，
∴AH = $\sqrt{2}$CH = (3$\sqrt{2}$ + 3$\sqrt{6}$)mm。
第
(3)问还可按如下方法：
如图，连接AH，过点A作AC⊥HP于点C
巧作辅助线：①欲求AH，则构造Rt△ACH
②∠APC = 75°，故构造等腰三角形APD从

∵∠BPA = 135°，∠BPH = 30°，
∴∠HPA = ∠BPA - ∠BPH = 135° - 30° = 105°，
∴∠CPA = 75°，∠CAP = 15°。
在AC上取一点D使AD = PD，连接PD
则∠DPA = ∠CAP = 15°（依据：等边对等角）
∴∠CDP = ∠CAP + ∠DPA = 30°（依据：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）
设PC = x，则AD = PD = 2PC = 2x，CD = $\sqrt{3}$PC = $\sqrt{3}$x
∴AC = AD + CD = 2x + $\sqrt{3}$x = (2 + $\sqrt{3}$)x。
在Rt△ACP中，AC² + CP² = AP²，即(2 + $\sqrt{3}$)²x² + x² = (6$\sqrt{2}$)²，
x² = 36 - 18$\sqrt{3}$ = 9(4 - 2$\sqrt{3}$) = 9($\sqrt{3}$ - 1)²，
x = 3($\sqrt{3}$ - 1) = 3$\sqrt{3}$ - 3
∴AC = (2 + $\sqrt{3}$)x = 3 + 3$\sqrt{3}$，CH = 3$\sqrt{3}$ - 3 + 6 = 3 + 3$\sqrt{3}$
∴△ACH是等腰直角三角形
∴AH = $\sqrt{2}$AC = (3$\sqrt{2}$ + 3$\sqrt{6}$)mm。