《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

17. （本小题满分7分）
在如图所示的数轴上，已知$AC = 6$，$BC = 2$，点B表示的数为-1.
（1）求点A，C所表示的数；
（2）将点A向右平移x个单位长度后，若$AC = 3$，求x的值.

答案： 17
(1)$\because AC = 6$，$BC = 2$，$\therefore AB = AC - BC = 6 - 2 = 4$。
$\because$点$B$表示的数为$-1$，
$\therefore$点$A$表示的数为$-1 - 4 = -5$，点$C$表示的数为$-1 + 2 = 1$。(4分)
(2)$\because AC = 3$，$\therefore$平移后点$A$表示的数为$-2$或4，
$\therefore -5 + x = -2$或$-5 + x = 4$，
$\therefore x = 3$或9。(7分)

18. （本小题满分8分）
规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”. 例如：$5^{2} - 3^{2} = 2×8$；$13^{2} - 11^{2} = 6×8$.
（1）验证：$21^{2} - 19^{2}$是“如意式”；
（2）证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”.

答案： 18
(1)验证：$\because 21^{2} - 19^{2} = (21 + 19)(21 - 19) = 40 × 2 = 80 = 10 × 8$，
$\therefore 21^{2} - 19^{2}$能被8整除，
$\therefore 21^{2} - 19^{2}$是“如意式”。(4分)
(2)证明：设两个连续奇数为$2n - 1$，$2n + 1$（$n$是整数）。
$\because (2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2}$
$= [(2n + 1) + (2n - 1)][(2n + 1) - (2n - 1)]$
$= 4n × 2$
$= 8n$，
$\therefore$任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”。(8分)

19. （本小题满分8分）
如图，嘉嘉在某公园用无人机测量某居民楼的高度，将无人机垂直上升一定高度后到达点P处，测得此居民楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿此居民楼方向水平飞行50 m到达点Q处，测得此居民楼顶端点B的俯角为60°，再将无人机沿此居民楼方向水平飞行30 m，此时无人机到达此居民楼顶端点B的正上方C处.
（1）求BC的长（结果保留根号）；
（2）求居民楼AB的高度（结果保留整数）.
（参考数据：$\sin37^{\circ}\approx0.60$，$\cos37^{\circ}\approx0.80$，$\tan37^{\circ}\approx0.75$，$\sqrt{3}\approx1.73$）

答案：
19 名师教审题
解直角三角形的实际应用题系列
审题后，将获取的信息在图中标注出来，如下图，可知围绕$Rt\triangle BCQ$和$Rt\triangle ACP$求解即可。

(1)在$Rt\triangle BCQ$中，$\angle BQC = 60^{\circ}$，
$\therefore \tan \angle BQC = \frac{BC}{CQ} = \sqrt{3}$，$\therefore BC = \sqrt{3}CQ = 30\sqrt{3}$。
答：$BC$的长为$30\sqrt{3}$m。(4分)
(2)$CP = PQ + CQ = 50 + 30 = 80$。
由题意得$\angle APC = 37^{\circ}$，
$\therefore \tan \angle APC = \frac{AC}{CP} \approx 0.75$，
$\therefore AC \approx 0.75CP = 0.75 × 80 = 60$，
$\therefore AB = AC - BC = 60 - 30\sqrt{3} \approx 60 - 30 × 1.73 \approx 8$。
答：居民楼$AB$的高度约为8m。(8分)