《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

22. (本小题满分9分)
如图(1)，矩形ABCD中，$AB = 4\sqrt{3}$，$BC = 4$，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA，DC向终点A，C运动，过点A作直线EF的垂线，垂足为点G.
(1)当$DF = FG$时，AD与AG的数量关系为AD = AG；
(2)如图(2)，若AG平分$\angle DAB$，运动时间为t秒，求EF的长及t的值；
(3)当运动时间$t = \sqrt{3}$时，直接写出AG的长.

答案：
22 名师教审题
几何综合题系列
设问
(1)：“$AD$与$AG$的数量关系”。(判断线段间的数量关系)
思考方向：一般通过直接观察猜想线段关系，常见的是相等关系。
解题方法：连接$AF$，证明$Rt\triangle ADF \cong Rt\triangle AGF$。
设问
(2)：“求$EF$的长及$t$的值”。(求线段长及运动时间)
思考方向：解直角三角形、方程思想、平行线的性质。
解题方法：由直角的平分线得$45^{\circ}$特殊角，考虑构造等腰直角三角形。
设问
(3)：“直接写出$AG$的长”。(求线段长)
思考方向：相似三角形、勾股定理。
解题方法：先画出符合条件的示意图，考虑构造相似三角形求解。
(1)$AD = AG$ (3分)
解法提示：如图
(1)，连接$AF$。

$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle D = 90^{\circ}$。
$\because AG \perp EF$，$\therefore \angle D = \angle AGF = 90^{\circ}$。
$\because DF = GF$，$AF = AF$，
$\therefore Rt\triangle ADF \cong Rt\triangle AGF(HL)$，
$\therefore AD = AG$。
(2)$\because \angle DAB = 90^{\circ}$，$AG$平分$\angle DAB$，
$\therefore \angle BAG = \frac{1}{2}\angle DAB = 45^{\circ}$。
$\because \angle AGE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEG = \angle EAG = 45^{\circ}$。
如图
(2)，过点$F$作$FH \perp AB$于点$H$，

则四边形$ADFH$是矩形，
$\therefore FH = AD = BC = 4$，
$\therefore EF = \sqrt{2}FH = 4\sqrt{2}$。
$\because DF = BE = AH = t$，
$\therefore HE = AB - AH - BE = 4\sqrt{3} - 2t = 4$，
$\therefore t = 2\sqrt{3} - 2$。(7分)
(3)$\frac{6\sqrt{21}}{7}$ (9分)
快招解题法 试题秒解 考场速用
本题可利用相似三角形的性质列方程求解。解法提示如下。
如图
(3)，过点$F$作$FH \perp AB$于点$H$(点拨：构造相似三角形)。

同
(2)可得$FH = 4$，$AH = DF = \sqrt{3}$，
$\therefore AE = AB - BE = 3\sqrt{3}$，$HE = AB - AH - BE = 2\sqrt{3}$，
$\therefore EF = \sqrt{FH^{2} + HE^{2}} = 2\sqrt{7}$。
$\because \angle FHE = \angle AGE = 90^{\circ}$，$\angle AEG = \angle FEH$，
$\therefore \triangle AGE \sim \triangle FHE$，
$\therefore \frac{AG}{FH} = \frac{AE}{EF}$，$\frac{AG}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，
$\therefore AG = \frac{6\sqrt{21}}{7}$。
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23. （本小题满分11分）
如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^{2} + bx + c$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点$C(0,-5)$，对称轴为直线$x = 2$. 已知点D为抛物线上任意一点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（2），当点D为抛物线的顶点时，求△BCD的面积；
（3）如图（3），当点D在直线BC下方的抛物线上时，连接OD交BC于点E，求$\frac{DE}{OE}$的最大值.

答案：
23
(1)将$C(0,-5)$代入$y = x^{2} + bx + c$，得$c = -5$。
根据题意，得$-\frac{b}{2} = 2$，解得$b = -4$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2} - 4x - 5$。(3分)
(2)令$y = 0$，即$x^{2} - 4x - 5 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 5$，
$\therefore B(5,0)$。
当$x = 2$时，$y = x^{2} - 4x - 5 = -9$，$\therefore D(2,-9)$。
设直线$BC$与抛物线的对称轴交于点$P$，直线$BC$的解析式为$y = kx + n$，
把$B(5,0)$，$C(0,-5)$分别代入，得$\begin{cases}5k + n = 0, \\n = -5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1, \\n = -5,\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y = x - 5$。
当$x = 2$时，$y = x - 5 = -3$，
$\therefore P(2,-3)$，$\therefore DP = 6$，
$\therefore S_{\triangle BCD} = S_{\triangle BPD} + S_{\triangle PCD} = \frac{1}{2} × 6 × 3 + \frac{1}{2} × 6 × 2 = 15$。(7分)
(3)如图，过点$D$作$DN // y$轴交$BC$于点$N$，

巧作辅助线：欲求$\frac{DE}{OE}$，构造“X”型相似三角形
则$\triangle NDE \sim \triangle COE$(点拨：“X”型相似三角形)，
$\therefore \frac{DE}{OE} = \frac{DN}{OC} = \frac{1}{5}DN$。
设点$D(m,m^{2} - 4m - 5)$，则点$N(m,m - 5)$，
$\therefore \frac{DE}{OE} = \frac{1}{5}DN = \frac{1}{5}(m - 5 - m^{2} + 4m + 5) = -\frac{1}{5}(m - \frac{5}{2})^{2} + \frac{5}{4}$
$\because -\frac{1}{5} ＜ 0$，$0 ＜ m ＜ 5$，
$\therefore$当$m = \frac{5}{2}$时，$\frac{DE}{OE}$取最大值，最大值为$\frac{5}{4}$。(11分)