《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

24. (本小题满分12分)
如图，在矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 8cm. 点F在边DA上，点E在射线BC上，BE = 3DF，设DF = d cm.
(1)AC的长为10cm；当EF最小时，d的值为2.
(2)当点E在边BC上时，过点F作FQ⊥BC，分别交AC，BC于点P，Q.
①当点E的位置如图所示时，请利用尺规作出FQ，标出点P，Q(保留作图痕迹，不写作法)，并求CP的长度(用含d的式子表示)；
②若以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形，求出d的值.
(3)当点F关于直线DE的对称点F'落在直线CD上时，直接写出点E，F之间的距离.

答案：
24
(1)10 2
解法提示：当$EF$最小时，$EF\perp AD$，此时$d + 3d = 8$，解得$d = 2$。
(2)①作图如图
(1)所示。

由题意知$FQ\perp BC$。
∵四边形$ABCD$为矩形，
∴$\angle B = \angle D = \angle DCQ = 90°$，
∴四边形$FDCQ$是矩形，
∴$QC = FD = d$，
∴$\cos\angle ACB = \frac{4}{5}=\frac{d}{PC}$，
∴$PC = \frac{5}{4}d$。
②当四边形$FEQD$为平行四边形时，如图
(2)，则$EQ = FD = d$。
∵$QC = d$，$BE = 3d$，
∴$3d + d + d = 8$，
∴$d = \frac{8}{5}$。

当四边形$FQED$为平行四边形时，点$E$与点$C$重合，如图
(3)，此时$3d = 8$，
∴$d = \frac{8}{3}$。

综上可知，当$d = \frac{8}{5}$或$\frac{8}{3}$时，以$E$，$Q$，$D$，$F$为顶点的四边形是平行四边形。
(3)$\frac{2\sqrt{145}}{3}$或$\frac{2\sqrt{337}}{3}$
解法提示：过点$F$作$FQ\perp BC$于点$Q$，则$CQ = FD = d$。
分两种情况讨论。
①当点$E$在线段$BC$上时，如图
(4)。

巧作辅助线：欲求$EF$，构造
∵点$F$关于直线$DE$的对称点$F'$落在直线$CD$上，
∴$\angle F'DE = \angle FDE = \frac{1}{2}\angle ADC = 45°$，
∴$CE = CD = 6$，
∴$BE = BC - CE = 2$，即$3d = 2$，解得$d = \frac{2}{3}$，
∴$CQ = \frac{2}{3}$，
∴$EQ = CE - CQ = 6 - \frac{2}{3}=\frac{16}{3}$，
∴$EF = \sqrt{EQ^2 + FQ^2}=\sqrt{(\frac{16}{3})^2 + 6^2}=\frac{2\sqrt{145}}{3}$。
②当点$E$在$BC$的延长线上时，如图
(5)。

同上可知$\angle1 = \angle2 = 45°$，
∴$\angle3 = 45°$，
∴$CE = CD = 6$，
∴$BE = BC + CE = 14$，即$3d = 14$，解得$d = \frac{14}{3}$，
∴$CQ = \frac{14}{3}$，
∴$EQ = CE + CQ = 6 + \frac{14}{3}=\frac{32}{3}$，
∴$EF = \sqrt{EQ^2 + FQ^2}=\sqrt{(\frac{32}{3})^2 + 6^2}=\frac{2\sqrt{337}}{3}$。
综上所述，$EF = \frac{2\sqrt{145}}{3}$或$\frac{2\sqrt{337}}{3}$。