《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

20. (本小题满分8分)
某工厂生产A,B,C,D四种产品.为提升产品的竞争力,该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程,降低成本;对其他种类的产品增加研发投入,提升品质.经研究,该工厂做出了甲、乙两种调整方案,这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响.
下面是该工厂这四种产品的部分信息:
a. 调整前,各产品年产量的不完整的条形统计图(图(1))和扇形统计图(图(2)).

b. 各产品单件成本的核算情况统计表及说明.

说明:对于统计表中的数据,方案甲的平均数与调整前的相同,方案乙的中位数与调整前的相同.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求调整前A产品的年产量;
(2)直接写出m,n的值;
(3)若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同,请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低.

答案：
(1)调整前四种产品的年产量之和为 40÷20% = 200(万件),
∴调整前 C 产品的年产量为 200×15% = 30(万件),
∴调整前 A 产品的年产量为 200 - 70 - 30 - 40 = 60(万件).
(2) m = 25, n = 28.
解法提示：
∵方案甲的平均数与调整前的相同,
∴18 + 26 + 20 + 36 = 13 + 22 + 40 + m, 解得 m = 25.
∵方案乙的中位数与调整前的相同, 调整前的中位数为$\frac{20 + 26}{2}$ = 23(元),
∴$\frac{18 + n}{2}$ = 23(提示：已有的三个数据按从小到大的顺序排列为 16, 18, 32. 当中间两个数是 16, 18 时, 中位数是 17; 当中间两个数是 18, 32 时, 中位数是 25. 故当中间两个数是 18, n 时符合题意),
∴n = 28.
(3)方案甲年总成本与方案乙年总成本的差为(13 - 16)×60 + (22 - 28)×70 + (25 - 18)×30 + (40 - 32)×40 = -70 ＜ 0,
∴方案甲总成本较低.

21. (本小题满分9分)
如图(1),图(2),正方形ABCD的边长为5.扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上,且不与点D重合,半径OE=2,点E,F分别在边AD,CD上,DE=DF(DE≥2),扇形OEF的弧交线段OB于点M,记为$\overset{\frown}{EMF}$.
(1)如图(1),当AE=3时,求∠EMF的度数;
(2)如图(2),当四边形OEMF为菱形时,求DE的长;
(3)当∠EOF=150°时,求$\overset{\frown}{EMF}$的长.

答案：

(1)
∵AD = 5, AE = 3,
∴DF = DE = 5 - 3 = 2.
又
∵OE = OF = 2,
∴DE = DF = OE = OF,
∴四边形 DEOF 是菱形.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠ADC = 90°,
∴∠EOF = 90°(依据：圆周角定理),
∴∠EMF = $\frac{1}{2}$∠EOF = 45°.
(2)
∵四边形 OEMF 为菱形,
∴EM = OE.
又
∵OE = OM,
∴EM = OE = OM,
∴△OEM 是等边三角形,
∴∠EOM = 60°.
如图
(1), 过点 E 作 EG⊥DM 于点 G.

巧作辅助线：欲求 DE 的长, 构造其所在的 Rt△DEG
在 Rt△EOG 中, EG = OE·sin60° = $\sqrt{3}$.
在 Rt△DEG 中, DE = $\frac{EG}{sin45°}$ = $\sqrt{6}$.
(3)当$\overset{\frown}{EMF}$是劣弧时, 如图
(2), EMF 的长为$\frac{150\pi×2}{180}$ = $\frac{5\pi}{3}$.
当$\overset{\frown}{EMF}$是优弧时, 如图
(3).
∵∠EOF = 150°,
∴$\overset{\frown}{EMF}$所对的圆心角为 360° - 150° = 210°,
∴$\overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{210\pi×2}{180}$ = $\frac{7\pi}{3}$.
综上所述, $\overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{5\pi}{3}$或$\frac{7\pi}{3}$.