《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

20. （本小题满分8分）
如图（1）是圆拱形门洞和两扇关闭的大门，如图（2），圆拱形门洞所在圆的圆心为点$O$，门缝$HF$经过圆心$O$，且垂直水平门槛$CD$于点$F$，点$A$，$B$在$\odot O$上，$AC$，$BD$都垂直于$CD$。已知$AC = BD = 0.1$米，$CD = 1$米，$FH = 2.6$米。
（1）尺规作图：在图（2）中画出圆心$O$；（保留作图痕迹，不写作图过程）
（2）求$\odot O$的半径；
（3）判断$CD$与$\odot O$的位置关系，并说明理由。

答案：
20.
(1)尺规作图如图所示。

(2)如图，连接AB交HF于点E，连接OA。
∵AC⊥CD，BD⊥CD，AC = BD，HF⊥CD，
∴四边形ABDC、四边形ACFE均为矩形，
∴EF = AC = 0.1，AB = CD = 1。
∵FH = 2.6，
∴HE = 2.6 - 0.1 = 2.5。
∵HF⊥CD，AB//CD，
∴HF⊥AB，
∴AE = BE = 0.5（依据：垂径定理）。
设⊙O的半径为r，则OA = r，OE = 2.5 - r。
在Rt△OAE中，根据勾股定理，得AE² + OE² = OA²，
即0.5² + (2.5 - r)² = r²，解得r = 1.3，
∴⊙O的半径为1.3米。
(3)CD与⊙O相切。
理由：
∵OF = HF - HO = 2.6 - 1.3 = 1.3，
∴OF是⊙O的半径。
又
∵OF⊥CD，
∴CD与⊙O相切。