《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

22. （本小题满分9分）
如图，已知$AB$为$\odot O$的直径，$AB = 5$，弦$CD \perp AB$于点$F$，$E$是$\odot O$上一点，$C$是弧$AE$的中点，连接$DE$交$AB$于点$G$，连接$AC$，$CG$。
（1）求证：$AF = FG$；
（2）连接$AD$，判断四边形$ACGD$的形状，并求出当$BG = 3$时，四边形$ACGD$的面积。

答案：
22.
(1) 证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，
$\therefore CF = DF$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$（垂径定理）. (1分)
$\because C$是弧$AE$的中点，$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$， (2分)
$\therefore AD = CE$，$\therefore\angle ACD = \angle CDE$.
又$\because CF = DF$，$\angle AFC = \angle DFG$，
$\therefore\triangle ACF\cong\triangle GDF(ASA)$，$\therefore AF = FG$. (5分)
(2) $\because CF = DF$，$AF = FG$，
$\therefore$四边形$ACGD$是平行四边形.
$\because CD\perp AB$，$\therefore□ ACGD$是菱形. (7分)
如图，连接$OC$.

$\because AB = 5$，$BG = 3$，
$\therefore AG = AB - BG = 5 - 3 = 2$，$OA = OC = \frac{1}{2}AB = \frac{5}{2}$，
$\therefore OF = OA - AF = OA - \frac{1}{2}AG = \frac{5}{2}-\frac{1}{2}×2 = \frac{3}{2}$，
$\therefore$在$Rt\triangle OCF$中，$CF = \sqrt{OC^{2}-OF^{2}}=\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}} = 2$，
$\therefore CD = 2CF = 2×2 = 4$，
$\therefore S_{菱形ACGD}=\frac{1}{2}AG· CD=\frac{1}{2}×2×4 = 4$. (9分)

23. （本小题满分11分）
如图（1）是一个抛物线形拱桥的截面示意图。桥下水面的宽度$AB = 8$m，以$AB$所在的直线为$x$轴，$A$为原点建立平面直角坐标系，拱顶$P$距离水面4 m，在点$P$处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面$AB$。
（1）$\angle APB =$90°；求拱桥所在抛物线的解析式。
（2）如图（2），当水面上升1 m后，光束的有效光照区域为$EF$，无法照到整个水面$CD$，求此时照明灯照不到的水面区域$CE$的宽度。
（3）如图（3），因河水上涨，点$A$处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点$P$处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开。$MN$为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂$MN \perp AP$，假设机械臂的起点$M$始终在抛物线上，请问机械臂起点$M$与树木之间距离$MN$是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

答案：
23.
(1) $90^{\circ}$ (2分)
由题意知$A(0,0)$，$B(8,0)$，顶点$P$的坐标为$(\frac{8}{2},4)$，即$(4,4)$.
设拱桥所在抛物线的解析式为$y = ax^{2}+bx$，
则$\begin{cases}0 = 8^{2}a + 8b\\4 = 4^{2}a + 4b\end{cases}$ (3分)
解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{4}\\b = 2\end{cases}$
$\therefore$拱桥所在抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{4}x^{2}+2x$. (4分)
(2) 设直线$AP$的解析式为$y = kx$，
将$P(4,4)$代入，得$4 = 4k$，解得$k = 1$，
$\therefore$直线$AP$的解析式为$y = x$.
当$y = 1$时，$x = 1$，$\therefore$点$E$的坐标为$(1,1)$. (6分)
对于$y = -\frac{1}{4}x^{2}+2x$，令$y = 1$，即$-\frac{1}{4}x^{2}+2x = 1$，解得$x_1 = 4 - 2\sqrt{3}$，$x_2 = 4 + 2\sqrt{3}$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(4 - 2\sqrt{3},1)$，
$\therefore CE = 1 - (4 - 2\sqrt{3}) = (2\sqrt{3}-3)(m)$.
答：此时照明灯照不到的水面区域$CE$的宽度为$(2\sqrt{3}-3)m$. (8分)
(3) 存在. (9分)
如图，过点$M$作$MG\perp x$轴于点$G$，交$AP$于点$H$.

$\because P(4,4)$，$\therefore\angle PAB = 45^{\circ}$，
$\therefore\angle MHN = \angle GHA = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$.
又$\because MN\perp AP$，$\therefore MN = \frac{\sqrt{2}}{2}MH$.
设$M(a,-\frac{1}{4}a^{2}+2a)$，则$H(a,a)$，
$\therefore MH = -\frac{1}{4}a^{2}+2a - a = -\frac{1}{4}(a - 2)^{2}+1$，
$\therefore$当$a = 2$时，$MH$的最大值为$1$，
$\therefore MN$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}m$. (11分)