《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

8. 五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据。若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是(C)

A.16
B.17
C.24
D.25

答案： 8. C
∵五个数据的中位数是5，唯一众数是6，
∴将这五个数按从小到大的顺序排列，后三个数的和是5 + 6 + 6 = 17（信息1），前两个数一定是小于5的非负整数，且不相等（信息2），即前两个数最小为0和1，最大为3和4，故他们投中次数的总和最小为0 + 1 + 17 = 18，最大为3 + 4 + 17 = 24。故选C。

9. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在边$BC$，$CA$，$AB$上，满足$DF // AC$，$DE // AB$，连接$AD$。
①当$DE \perp AC$时，四边形$AFDE$为矩形；
②当$AD$平分$\angle BAC$时，四边形$AFDE$为菱形；
③当$\triangle ABC$为等腰直角三角形时，四边形$AFDE$为正方形。
上述说法正确的是(A)

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： 9. A
∵DF//AC，DE//AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴当DE⊥AC时，四边形AFDE为矩形，故①正确。当AD平分∠BAC时，
∵DF//AC，
∴∠EAD = ∠FDA，
∴∠FAD = ∠FDA，
∴AF = FD，
∴四边形AFDE为菱形，故②正确。当△ABC为等腰直角三角形，且D是BC中点时，四边形AFDE才是正方形，故③错误。

10. 新课标 数学文化 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中。一房七客多七客，一房九客一房空。”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房。设有客房$x$间，客人$y$人，则可列方程组为(B)

A.$\begin{cases}7x - 7 = y, \\ 9(x + 1) = y\end{cases}$
B.$\begin{cases}7x + 7 = y, \\ 9(x - 1) = y\end{cases}$
C.$\begin{cases}7x + 7 = y, \\ 9(x + 1) = y\end{cases}$
D.$\begin{cases}7x - 7 = y, \\ 9(x - 1) = y\end{cases}$

答案： 10. B 本题中的两个等量关系为“7×客房间数 + 7 = 总人数”“9×(客房间数 - 1) = 总人数”，故可列方程组为$\begin{cases} 7x + 7 = y \\ 9(x - 1) = y \end{cases}$。

11. 如图，$DE$是$\triangle ABC$的中位线，点$F$为$DE$的中点，连接$AF$并延长交$BC$于点$G$，若$\triangle EFG$的面积为2，则$\triangle ABC$的面积为(C)

A.12
B.24
C.48
D.96

答案：
11. C
快招解题法 试题秒解 考场速用
如图，取AG的中点M，连接DM（点拨：构造中位线），BF，AE。
∵D、M分别是AB、AG的中点，
∴DM//BC，
∴∠MDF = ∠GEF，∠DMF = ∠EGF。又
∵DF = EF，
∴△DFM≌△EFG（AAS），
∴MF = GF，S△DFM = S△EFG = 2。
∵M是AG的中点，
∴AM = GM = 2MF，
∴AF = 3MF，S△ADF = 3S△DFM = 6，
∴S△BDF = S△BEF = S△AEF = S△ADF = 6，
∴S△ABE = 24。又
∵E是BC的中点，
∴S△ABC = 2S△ABE = 48。
巧作辅助线：见中点，可构造中位线

更多讲解详见《解题有招》折页“快招2”

12. 新考法 结合规律探索 已知直线$l_{1}: y = (k - 1)x + k + 1$和直线$l_{2}: y = kx + k + 2$，其中$k$为不小于2的自然数。当$k = 2$，$3$，$4$，$·s$，2025时，设直线$l_{1}$，$l_{2}$与$x$轴围成的三角形的面积分别为$S_{2}$，$S_{3}$，$S_{4}$，$·s$，$S_{2025}$，则$S_{2} + S_{3} + S_{4} + ·s + S_{2025}$的值为(D)

A.$\frac{1012}{2025}$
B.$\frac{2024}{2025}$
C.1
D.$\frac{4048}{2025}$

答案：
12. D 对于y = (k - 1)x + k + 1，当y = 0时，x = - 1 - $\frac{2}{k - 1}$，
∴直线l₁与x轴交点的横坐标为 - 1 - $\frac{2}{k - 1}$。同理，可求得直线l₂与x轴交点的横坐标为 - 1 - $\frac{2}{k}$，
∴直线l₁、l₂与x轴交点间的距离d = - 1 - $\frac{2}{k}$ - (- 1 - $\frac{2}{k - 1}$) = $\frac{2}{k - 1}$ - $\frac{2}{k}$（关键点：用含k的式子表示出两直线与x轴交点间的距离）。由$\begin{cases} y = (k - 1)x + k + 1 \\ y = kx + k + 2 \end{cases}$解得$\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 \end{cases}$，
∴直线l₁、l₂的交点坐标为(- 1, 2)，
∴直线l₁、l₂与x轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$×2×d = d，
∴S₂ = $\frac{2}{2 - 1}$ - $\frac{2}{2}$，S₃ = $\frac{2}{2}$ - $\frac{2}{3}$，S₄ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{2}{4}$，…，S₂₀₂₅ = $\frac{2}{2024}$ - $\frac{2}{2025}$，
∴S₂ + S₃ + S₄ +... + S₂₀₂₅ = $\frac{2}{2 - 1}$ - $\frac{2}{2025}$ = $\frac{4048}{2025}$。
名师讲方法
解题突破
画出直线l₁、l₂的草图如图所示，可知解决本题的关键是先用含k的式子表示出AB的长，并求出两直线的交点P的坐标，从而用含k的式子表示出△ABP的面积，据此表示出S₂、S₃、S₄、…、S₂₀₂₅，再观察式子的规律求解即可。

13. 计算$\sqrt{27} - \sqrt{3} =$2$\sqrt{3}$。

答案： 13. 2$\sqrt{3}$

14. 若关于$x$的一元二次方程$2x^{2} + (k + 1)x - 6 = 0$的一个根为$-1$，则另一个根为3。

答案： 14. 3
[解析]方法一：设该方程的另一个根为x₂，则 - 1×x₂ = $\frac{-6}{2}$（提示：根据一元二次方程根与系数的关系），
∴x₂ = 3，即方程的另一个根为3。方法二：将x = - 1代入2x² + (k + 1)x - 6 = 0，得2 - (k + 1) - 6 = 0，解得k = - 5，
∴原方程为2x² - 4x - 6 = 0，解这个方程，得x₁ = - 1，x₂ = 3，故该方程的另一个根为3。

15. 如图，矩形$ABCD$的顶点$A$，$D$的坐标为$A(1,0)$，$D(0,2)$，$BD // x$轴。若反比例函数$y = \frac{k}{x}$($k ＞ 0$，$x ＞ 0$)的图象经过矩形对角线的交点$E$，则$k$的值为5。

答案：
15. 5
[解析]如图，过点B作BF⊥x轴于点F。
∵∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠2 = 90°，
∴∠3 = ∠1，
∴tan∠3 = tan∠1，
∴$\frac{BF}{AF}$ = $\frac{OA}{OD}$ = $\frac{1}{2}$。
∵BD//x轴，
∴BF = OD = 2，
∴AF = 2BF = 4，
∴OF = 5，
∴B(5, 2)。又
∵四边形ABCD是矩形，E是其对角线的交点，
∴E($\frac{5}{2}$, 2)，
∴k = $\frac{5}{2}$×2 = 5。

16. 如图，在正六边形$ABCDEF$中，$AB = 6$，点$P$从点$F$出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线$F - A - B$运动，运动时间为$t$秒，过点$P$的直线$l$垂直于$AB$所在的直线，点$F$与$F'$关于直线$l$对称，连接$BF'$。当$BF'$最小时，$t$的值为$\frac{5}{2}$。

答案：
16. $\frac{5}{2}$
快招解题法 试题秒解 考场速用
本题需利用“垂线段最短”解决最值问题。解题思路为“已知条件→点F'在直线FC上→当BF'⊥FC时，BF'最短→画出图
(2)→求出AF + AP'的值→求出t”。解题思路如下。
如图
(1)，连接CF。根据六边形ABCDEF是正六边形，易知AB//FC。又
∵直线l⊥AB，
∴直线l⊥FC。连接FF'。
∴点F，F'关于直线l对称，
∴FF'⊥直线l，
∴点F'在直线FC上（关键点1）。又
∵点P在折线F—A—B上运动，
∴当BF'⊥FC时，BF'最短（关键点2：根据“垂线段最短”确定何时BF'最短），如图
(2)。设此时直线l与FC交于点H，则H是FF'的中点。过点A作AG⊥FC于点G，则四边形AGHP'是矩形，
∴GF' = AB = 6。易知∠FAG = 30°，
∴FG = $\frac{1}{2}$AF = 3，
∴FF' = FG + GF' = 9，
∴FH = $\frac{1}{2}$FF' = $\frac{9}{2}$，
∴GH = FH - FG = $\frac{3}{2}$。易知四边形AGHP'是矩形，
∴AP' = GH = $\frac{3}{2}$，
∴AF + AP' = 6 + $\frac{3}{2}$ = $\frac{15}{2}$（关键点3），
∴t = $\frac{15}{2}$÷3 = $\frac{5}{2}$

更多讲解详见《解题有招》折页“快招5”