《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

21. (本小题满分9分)
如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象l₁经过点A(-2,4),且与正比例函数$y = -\frac{2}{3}x$的图象l₂交于点B(m,2),与x轴交于点C.
(1) 求m的值及直线l₁的解析式;
(2) 若连接OA,求$S_{△AOC}$的面积;
(3) 已知l₃:y=ax+3a+2经过某一定点,且与x轴交于点E,当OE=1时,直接写出该定点与点E的距离.

答案： 21
(1)把B(m, 2)代入y = - $\frac{2}{3}$x中，得2 = - $\frac{2}{3}$m，解得m = - 3，(1分)
∴B(- 3, 2)。(2分)
将B(- 3, 2)，A(- 2, 4)分别代入y = kx + b中，得$\begin{cases}2 = - 3k + b\\4 = - 2k + b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 2\\b = 8\end{cases}$
∴直线l₁的解析式为y = 2x + 8。(5分)
(2)令2x + 8 = 0，解得x = - 4，
∴点C的坐标为(- 4, 0)，(6分)
∴S_{△AOC} = $\frac{1}{2}$·OC·|y_{A}| = $\frac{1}{2}$×4×4 = 8。(7分)
(3)2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{5}$
解法提示:l₃: y = ax + 3a + 2 = a(x + 3) + 2(点拨：将直线的解析式化为y = k(x + p) + q的形式，则直线过定点(- p, q))，
∴直线l₃经过定点(- 3, 2)。
∵OE = 1，
∴点E的坐标为(1, 0)或(- 1, 0)。
当点E的坐标为(1, 0)时，该定点与点E的距离为$\sqrt{(1 + 3)^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$；
当点E的坐标为(- 1, 0)时，该定点与点E的距离为$\sqrt{(- 1 + 3)^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$；
综上所述，该定点与点E的距离为2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{5}$。

22. (本小题满分9分)
如图(1)是一台投影仪,图(2)是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE.经测量:AO=6.4 cm,CD=8 cm,AB=20 cm,BC=25 cm.
(1) 如图(2),当BC//OE时,∠ABC=70°,求投影探头的端点D到桌面OE的距离.
(2) 如图(3),将图(2)中的BC绕点B顺时针旋转,当∠ABC=30°时,请通过计算说明投影探头CD是否会与桌面OE发生碰撞.
(结果精确到1 cm.参考数据:$\sin 70°≈0.94$,$\cos 70°≈0.34$,$\sin 40°≈0.64$,$\cos 40°≈0.77$)

答案：
22
(1)如图
(1)，延长OA交BC于点F。
∵BC//OE，OA⊥OE，
∴OF⊥BC。
在Rt△ABF中，∠ABC = 70°，AB = 20cm，
∴AF = AB·sin70°≈20×0.94 = 18.8(cm)，(3分)
∴OA + AF - CD = 6.4 + 18.8 - 8 = 17(cm)。
答:投影探头的端点D到桌面OE的距离约为17cm。(5分)
　　　　 　
(2)如图
(2)，过点B作BG⊥DC，交DC的延长线于点G。
由题意知∠ABG = 70°，
∴∠CBG = ∠ABG - ∠ABC = 40°。(7分)
在Rt△BCG中，BC = 25cm，
∴CG = BC·sin40°≈25×0.64 = 16(cm)。(8分)
∵16 ＜ 17，
∴投影探头CD不会与桌面OE发生碰撞。(9分)