《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

17. （本小题满分7分）
如图，晴晴家有一块长为$(4a + b)$米，宽为$(3a + b)$米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为$(2a + b)$米，宽为$(a + b)$米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦。
（1）求种植小麦的耕地面积。（用含a，b的代数式表示，要求化简）
（2）当$a = 200$，$b = 130$时，求种植小麦的耕地面积。

答案： 17
(1)根据题意，得(3a + b)(4a + b) - (a + b)(2a + b) = 12a² + 7ab + b² - (2a² + 3ab + b²) = 12a² + 7ab + b² - 2a² - 3ab - b² = (10a² + 4ab)（平方米）.
(2)当a = 200，b = 130时，10a² + 4ab = 10×200² + 4×200×130 = 504000（平方米）.
答：种植小麦的耕地面积为504000平方米.

18. （本小题满分8分）
新考法 知识的迁移应用 聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序A和B，如图，在程序A中“△”处输入一个正整数，则程序A自动在“□”处填补出一个比“△”处大1的数字，并显示出计算结果，同时程序B会复制程序A中相应位置的数值完成程序B的计算，并显示出计算结果。
例如：“△”处输入1，则程序A完成运算$\frac{1}{1 × 2} = \frac{1}{2}$，程序B完成运算$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
探究 若“△”处输入数字2，则程序A的结果为$\frac{1}{6}$，程序B的结果为$\frac{1}{6}$；若△处输入数字5，则程序A的结果为$\frac{1}{30}$，程序B的结果为$\frac{1}{30}$；若△处输入数字100，设程序A的结果为a，则a=$\frac{1}{100} - \frac{1}{101}$（填“＞”“＜”或“=”）。
应用 请利用“探究”中发现的结论证明：$\frac{1}{n(n + 1)} + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{2}{n(n + 2)}$。

答案： 18 探究 $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{30}$ $\frac{1}{30}$ =
应用 证明：当“△”处输入数字n，则程序A的结果为$\frac{1}{n(n + 1)}$，程序B的结果为$\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n + 1}$ = $\frac{n + 1}{n(n + 1)}$ - $\frac{n}{n(n + 1)}$ = $\frac{1}{n(n + 1)}$，
∴$\frac{1}{n(n + 1)}$ = $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n + 1}$.
同理可得$\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$ = $\frac{1}{n + 1}$ - $\frac{1}{n + 2}$，
∴$\frac{1}{n(n + 1)}$ + $\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$ = $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n + 1}$ + $\frac{1}{n + 1}$ - $\frac{1}{n + 2}$ = $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n + 2}$ = $\frac{n + 2}{n(n + 2)}$ - $\frac{n}{n(n + 2)}$ = $\frac{2}{n(n + 2)}$，
∴$\frac{1}{n(n + 1)}$ + $\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$ = $\frac{2}{n(n + 2)}$成立.