《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

21. (本小题满分9分)
现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图(1)所示($a ＞ 1$).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图(2)和图(3),其面积分别为$S_{1},S_{2}$.
(1)请用含$a$的式子分别表示$S_{1},S_{2}$;当$a = 2$时,求$S_{1}+S_{2}$的值.
(2)比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小,并说明理由.

答案： 21
(1)根据题意，得$S_{1} = (a + 1)(a + 2) = a^{2} + 3a + 2$，$S_{2} = (5a + 1) × 1 = 5a + 1$， (2分)当$a = 2$时，$S_{1} + S_{2} = a^{2} + 8a + 3 = 2^{2} + 8 × 2 + 3 = 23$. (4分)
(2)$S_{1} ＞ S_{2}$.理由：由
(1)知，$S_{1} = a^{2} + 3a + 2$，$S_{2} = 5a + 1$，$\therefore S_{1} - S_{2} = a^{2} + 3a + 2 - (5a + 1) = a^{2} - 2a + 1 = (a - 1)^{2}$.$\because a ＞ 1$，$\therefore (a - 1)^{2} ＞ 0$，$\therefore S_{1} ＞ S_{2}$. (9分)

22. (本小题满分9分)
某公司为提高服务质量,对其某个部门开展了客户满意度问卷调查,客户满意度以分数呈现,满意度从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档.公司规定:若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分,则该部门需要对服务质量进行整改.工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份,如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图.
(1)求客户所评分数的中位数、平均数,并判断该部门是否需要整改.
(2)监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份,与之前的20份合在一起,重新计算后,发现客户所评分数的平均数大于3.55分,求监督人员抽取的问卷所评分数为几分.与(1)相比,中位数是否发生变化?

答案： 22
(1)由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第$10$，$11$个数据分别是$3$分，$4$分，$\therefore$客户所评分数的中位数为$\frac{3 + 4}{2} = 3.5$(分). (2分)客户所评分数的平均数为$(1 × 1 + 2 × 3 + 3 × 6 + 4 × 5 + 5 × 5) ÷ 20 = 3.5$(分). (3分)$\because$客户所评分数的平均数和中位数都不低于$3.5$分，$\therefore$该部门不需要整改. (4分)
(2)设监督人员抽取的问卷所评分数为$x$分，根据题意，得$\frac{3.5 × 20 + x}{20 + 1} ＞ 3.55$，解得$x ＞ 4.55$.$\because$满意度从低到高为$1$分，$2$分，$3$分，$4$分，$5$分，共$5$档，$\therefore$监督人员抽取的问卷所评分数为$5$分. (6分)中位数发生了变化. (7分)理由：加入这个数据后，将客户所评分数按从小到大排列，第$11$个数据是$4$分，$\therefore$加入这个数据之后，中位数是$4$分，$\therefore$与
(1)相比，中位数发生了变化. (9分)