《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

15. 如图，$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$，点A，B，C是$\odot O$上的三个点，若四边形OABC是菱形，则阴影部分的面积为4π.

答案：
15 4π
【解析】如图，连接OB.
∵ 四边形OABC是菱形，
∴ AO = AB.又
∵ OA = OB，
∴ △ OAB是等边三角形，
∴ ∠ AOB = 60°，
∴ ∠ AOC = 120°，
∴ S_{阴影} = $\frac{120\pi × (2\sqrt{3})^2}{360}$ = 4π.

16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在y轴与x轴上，点B的坐标为$(5,4)$. 抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2} - bx + c$经过点$(m,n)$和$(m + 2,n)$，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是$x ＞ 2m - 2$. 若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是0 ＜ c ＜ $\frac{15}{2}$或8 ＜ c ＜ 12.

答案：
16 0 ＜ c ＜ $\frac{15}{2}$或8 ＜ c ＜ 12
名师教审题
函数综合题系列
题干①：抛物线y = $\frac{1}{2}$x² - bx + c经过点(m,n)和(m + 2,n).
提取信息：抛物线的对称轴为直线x = $\frac{m + m + 2}{2}$ = m + 1.
题干②：当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x ＞ 2m - 2.
提取信息：抛物线的对称轴为直线x = 2m - 2.
【解析】由“名师教审题”可知m + 1 = 2m - 2 (点拨：根据抛物线的对称轴列方程)，解得m = 3，
∴ 抛物线的对称轴为直线x = 4，
∴ -$\frac{-b}{2 × \frac{1}{2}}$ = 4，
∴ b = 4 (关键点：围绕抛物线的对称轴，求出b的值)，
∴ 抛物线的解析式为y = $\frac{1}{2}$x² - 4x + c.
利用数形结合思想，分析如下：
当抛物线经过原点时 (临界位置1)，c = 0，此时点C在抛物线上方 (提示：当x = 5时，y = $\frac{1}{2}$×5² - 4×5 ＜ 0，故点C在抛物线上方)，如图
(1).当抛物线经过点C(5,0)时 (临界位置2)，如图
(2)，$\frac{1}{2}$×5² - 4×5 + c = 0，解得c = $\frac{15}{2}$.分析可知，当0 ＜ c ＜ $\frac{15}{2}$时，抛物线与矩形的边有两个交点.


当抛物线的顶点在x轴上时 (临界位置3)，如图
(3)，$\frac{1}{2}$×4² - 4×4 + c = 0，解得c = 8.当抛物线的顶点在AB上时 (临界位置4)，如图
(4)，$\frac{1}{2}$×4² - 4×4 + c = 4，解得c = 12.


分析可知，当8 ＜ c ＜ 12时，抛物线与矩形的边有两个交点.
综上可知，符合题意的c的取值范围是0 ＜ c ＜ $\frac{15}{2}$或8 ＜ c ＜ 12.
名师讲方法
解题突破
本题中，抛物线的对称轴固定，当c值逐渐变大时，抛物线逐渐向上平移，故解题时，可从抛物线过点O时 (此为第一个临界位置) 开始分析，直至抛物线与AB只有一个交点 (此为最后一个临界位置)，在此过程中，想象抛物线向上平移的过程，利用数形结合思想，探究此过程中符合题意的情况，找出临界位置，并求出每个临界位置时c的值.

17. （本小题满分7分）
对于任意数a，b，规定：$a\oplus b = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) - b^{3}$，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算. 例：$(-2)\oplus 3 = (-2 + 3)× [(-2)^{2} - (-2)× 3 + 3^{2}] - 3^{3} = 1× 19 - 27 = 19 - 27 = -8$.
（1）求$(-2)\oplus (-4)$的值.
（2）嘉嘉说：“无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关.”嘉嘉说得对吗？请说明理由.

答案： 17
(1)(-2) ⊕ (-4) = (-2 - 4) × [(-2)² - (-2) × (-4) + (-4)²] - (-4)³ = -6 × 12 + 64 = -8.
(2)嘉嘉说得对.
理由：
∵ a④b=(a+b)(a²−ab+b²)−b²=a³−a²b+ab²+a²b−ab²+b³−b³=a³，
∴ 无论a,b取何值，运算结果只和a有关，和b无关.

18. （本小题满分8分）
新情境 接力游戏 在数学课上，老师出了一道题，随机选择一组同学进行合作完成“接力游戏”. 规则如下：每位同学可以完成解分式方程的一步，即前一位同学完成一步后，后一位同学接着前一位同学的步骤进行下一步运算.
问题情境：

请根据上方的“接力游戏”回答问题：
（1）在“接力游戏”中，从甲同学开始出现错误，你的判断依据是去括号法则（或乘法分配律）.
（2）写出正确的解答过程.

答案： 18
(1)甲 去括号法则 (或乘法分配律)
(2)去分母，得2x + 4 - x + 2 = -2x.
移项，得2x - x + 2x = -2 - 4.
合并同类项，得3x = -6.
系数化为1，得x = -2.
检验：当x = -2时，2x + 4 = 0，
所以原分式方程无解.