《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

9. 已知二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 1, \\ *\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = -1, \\ y = a,\end{cases}$则$*$表示的方程可能是( )

A.$x - y = -3$
B.$x + y = 4$
C.$2x - y = -3$
D.$2x + 3y = -4$

答案： 9A 将$\begin{cases}x = -1\\y = a\end{cases}$代入$x + y = 1$，得$-1 + a = 1$，解得$a = 2$，$\therefore\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}$，$\therefore x - y = -3$，$x + y = 1$，$2x - y = -4$，$2x + 3y = 4$，故表示的方程可能是$x - y = -3$.

10. 有这样一道题：“把300本书分成4份，每份书的本数都是奇数，其中一份书的数量少，另外3份书的数量多且数量相同，问：应该如何分？”设数量少的一份有$x$本书，则下列说法正确的是(D)

A.数量多的3份每份有$(300 - x)$本书
B.依题意得$\frac{300 - x}{3} \geq x$
C.$x$有最小值，但没有最大值
D.$x = 3$是正确解，但不是唯一解

答案： 10D 由题意知数量多的3份每份有$\frac{300 - x}{3}$本书，$\therefore\frac{300 - x}{3} ＞ x$，解得$x ＜ 75$，$\therefore 0 ＜ x ＜ 75$. 由题意知$\frac{300 - x}{3}$，$x$均为奇数. 当$x = 3$时，$\frac{300 - x}{3} = 99$；当$x = 69$时，$\frac{300 - x}{3} = 77$，$\therefore x$的最小值为$3$，最大值为$69$，$\therefore x$既有最小值，又有最大值，$x = 3$是正确解，但不是唯一解. 综上，只有选项D正确.

11. 如图(1)，四边形$ABCD$为菱形，动点$P$，$Q$同时从$A$点出发，点$P$以每秒1个单位长度的速度沿线段$AD$向终点$D$运动；点$Q$沿折线$A - B - C - D$向终点$D$匀速运动，当点$P$运动至终点时，另一点$Q$也恰好到达终点。设运动时间为$x$秒，$\triangle APQ$的面积为$y$个平方单位，图(2)为$y$关于$x$的函数关系图象。给出下面四个结论：①点$Q$的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形$ABCD$的边长为6；③当$x = 1$时，$y = 2.5$；④曲线$FG$段是函数$y = -\frac{5}{4}x^2 + \frac{15}{2}x$的图象的一部分。其中结论正确的是(C)

A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.①④

答案：
11C 逐项分析如下，可知选C.

12. 在数轴上有一动点$P$，将点$P$沿数轴做如下移动，第一次将点$P$向右平移2个单位长度到达点$P_1$，第二次将点$P_1$向左移动4个单位长度到达点$P_2$，第三次将点$P_2$向右移动6个单位长度……按照这种移动规律移动下去，第$n$次移动到点$P_n$，甲、乙、丙三位同学给出以下结论：
甲：若$P_1$，$P_2$表示的数互为相反数，则点$P$表示的数为0；
乙：如图，若点$P$表示的数为$-1$，点$P_n$到原点的距离为15，则$n = 15$；
丙：当$n$为奇数时，$P_nP_{n - 1} = 2n$。
对于三人的观点，以下说法正确的是(C)

A.甲、乙、丙都对
B.甲、乙对，丙不对
C.甲、丙对，乙不对
D.甲对，乙、丙不对

答案：
12C 分析如下，可知选C.

13. 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{3} =$。

答案： $\sqrt{3}$（或填具体数值形式的答案框中应填原式化简结果对应的数值表达（本题答案以根号形式呈现），即填$\sqrt{3}$ ）

14. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 10x + 3a + 4 = 0$，其中一根是另一根的4倍，则$a$的值为。

答案： （这里假设是填空题直接填数值）4

15. 如图，在平面直角坐标系内，点$A$，$B$分别位于两轴正半轴上，$OA = OB$，反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象交线段$AB$于$C$，$D$两点，且$C$，$D$分别为$AB$的三等分点，连接$OC$，若$\triangle OBC$的面积为3，则$k$的值为4。

答案：
15. 4
【解析】$\because$点$C$为$AB$的三等分点，$\therefore\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$. 如图，过点$C$作$CE\perp y$轴于点$E$，则$CE// OA$，$\therefore\frac{OE}{OB}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，$\therefore OE=\frac{2}{3}OB$，$\therefore S_{\triangle OCE}=\frac{2}{3}S_{\triangle OBC}=2$，$\therefore\vert k\vert = 2S_{\triangle OCE}=4$（点拨：根据反比例函数中$\vert k\vert$的几何意义），$\therefore k = \pm4$. 又$\because$反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象位于第一象限，$\therefore k = 4$.

一题多解：$\because$点$C$为$AB$的三等分点，$\therefore BC=\frac{1}{3}AB$，$S_{\triangle OBA}=3S_{\triangle OBC}=9$. $\because OA = OB$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\therefore\frac{1}{2}OA· OB = 9$，$\therefore OA = OB = 3\sqrt{2}$. 如图，过点$C$作$CF\perp OA$于点$F$，则$CF// OB$，$\therefore\frac{OF}{OA}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，$\therefore OF=\frac{1}{3}OA=\sqrt{2}$. $\because CF// OB$，$\triangle ACF\sim\triangle ABO$（“A”字型相似模型），$\therefore\frac{CF}{BO}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，$\therefore CF=\frac{2}{3}OB = 2\sqrt{2}$，$C(\sqrt{2},2\sqrt{2})$，$k = \sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$.

16. 光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用。如图(1)是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，在图(2)中，若$AM$的延长线恰好过点$C$，圆的半径为2 cm，则叶片所占区域(阴影部分)的面积是$(4\pi - 2\sqrt{3})$$cm^2$。

答案：
16. $(4\pi - 2\sqrt{3})$
【解析】如图，设该圆的圆心为$O$，易知点$O$也为正六边形的中心. 连接$OM$，$OD$，$OA$，则$OA = 2cm$，$OM = OD$，$\angle MOD = 60^{\circ}$，$\therefore\triangle OMD$是等边三角形. 过点$O$作$OH\perp AM$于点$H$，则$DH = MH = \frac{1}{2}DM$，$OH = \sqrt{3}DH$. $\because\angle CMN = \angle CNM = 60^{\circ}$，$\therefore\triangle CMN$是等边三角形，$\therefore DM = MN = MC = CN = AD$. 设$AD = x$，则$DM = x$，$DH = \frac{1}{2}x$，$OH = \frac{\sqrt{3}}{2}x$，$AH = \frac{3}{2}x$. 在$Rt\triangle AOH$中，$OH^{2}+AH^{2}=OA^{2}$，即$(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2}+(\frac{3}{2}x)^{2}=2^{2}$，解得$x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$（负值已舍），$\therefore DM = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，$OH = \frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=1$，$\therefore S_{阴影}=S_{圆}-S_{正六边形}=4\pi - 6×\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×1=(4\pi - 2\sqrt{3})(cm^{2})$.