《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

17. （本小题满分8分）
如图所示的等式：

（1）若$a = -3$，$b = -8$，求$Q$的值；
（2）若$Q = 41$，$b ≥ -2$，求$a$的最小整数值。

答案：
(1)若$a = - 3$，$b = - 8$，则$Q = 5a - 7b = 5 × ( - 3) - 7 × ( - 8) = 41$. (4分)
(2)当$Q = 41$时，$b = \frac{1}{7}(5a - 41)$. (6分)
$\because b \geq - 2$，$\therefore \frac{1}{7}(5a - 41) \geq - 2$，解得$a \geq \frac{27}{5}$， (7分)
$\therefore a$的最小整数值为6. (8分)

18. （本小题满分8分）
数学课上，老师在黑板上书写了$M$，$N$两个整式：
$M = -2a^2 + 4a$；
$N = -2(a^2 - 2a + 2)$。
（1）比较$M$，$N$的大小；
（2）若$P + 2N = M - 6$，求证：$P$不可能小于0。

答案：
(1)$M - N = - 2a^{2} + 4a - \lbrack - 2(a^{2} - 2a + 2)\rbrack = - 2a^{2} + 4a - ( - 2a^{2} + 4a - 4) = - 2a^{2} + 4a + 2a^{2} - 4a + 4 = 4 ＞ 0$，$\therefore M ＞ N$. (4分)
(2)$P = M - 2N - 6 = - 2a^{2} + 4a - 2 × \lbrack - 2(a^{2} - 2a + 2)\rbrack - 6 = - 2a^{2} + 4a + 4(a^{2} - 2a + 2) - 6 = 2a^{2} - 4a + 2 = 2(a^{2} - 2a + 1) = 2(a - 1)^{2} \geq 0$， (7分)
$\therefore P$不可能小于0. (8分)

19. （本小题满分8分）
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 13$，$AC = 5$。
（1）尺规作图：作$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$M$（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求$AM$的长。

答案：

(1)作图如图所示.

(2)如图，过点M作$ME \perp AB$于点E.
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 13$，$AC = 5$，$\therefore BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = 12$. (5分)
$\because BM$平分$\angle ABC$，$\therefore CM = ME$(依据：角平分线上的点到角两边的距离相等).
又$\because \angle ACB = \angle BEM = 90^{\circ}$，$BM = BM$，$\therefore Rt \triangle BCM \cong Rt \triangle BEM$，$\therefore BC = BE$，$\therefore AE = AB - BE = 1$.
在$Rt \triangle AME$中，$AM^{2} = AE^{2} + ME^{2}$，即$AM^{2} = 1^{2} + (5 - AM)^{2}$，$\therefore AM = \frac{13}{5}$. (8分)