《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

24. （本小题满分12分）
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = \sqrt{7}$，$AC = 2$，过点$B$作直线$m// AC$，将$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$\triangle A'B'C$（点$A$，$B$的对应点分别是点$A'$，$B'$），射线$CA'$，$CB'$分别交直线$m$于点$P$，$Q$。
（1）如图（1），当$P$与$A'$重合时，求$\angle ACA'$的度数。
（2）如图（2），设$A'B'$与$BC$的交点为$M$，当$M$为$A'B'$的中点时，求线段$PQ$的长。
（3）在旋转过程中，当点$P$，$Q$分别在$CA'$，$CB'$的延长线上时，四边形$PA'B'Q$的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形$PA'B'Q$的最小面积；若不存在，请说明理由。

答案： 24
(1)由旋转的性质，得A'C = AC = 2。
∵∠ACB = 90°，AB = $\sqrt{7}$，AC = 2，
∴BC = $\sqrt{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \sqrt{3}$。
∵∠ACB = 90°，m//AC，
∴∠A'BC = 90°。
方法一：
∵cos∠A'CB = $\frac{BC}{A'C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A'CB = 30°，
∴∠ACA' = 90° - 30° = 60°。(3分)
方法二：
∵sin∠CA'B = $\frac{BC}{A'C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CA'B = 60°，
∴∠ACA' = ∠CA'B = 60°。(3分)
(2)
∵M为A'B'的中点，
∴A'M = CM（依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠A'CM = ∠MA'C。
由旋转的性质，得∠MA'C = ∠A，
∴∠A = ∠A'CM，
∴tan∠PCB = tanA = $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{PB}{BC}$，
∴PB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$BC = $\frac{3}{2}$。
方法一：
∵∠BCQ + ∠BQC = ∠BCQ + ∠BCP = 90°，
∴∠BQC = ∠BCP = ∠A，
∴tan∠BQC = tanA = $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{BQ}$，
∴BQ = BC×$\frac{2}{\sqrt{3}} = 2$，
∴PQ = PB + BQ = $\frac{7}{2}$。(7分)
方法二：
∵∠A + ∠ABC = ∠A'CM + ∠BCB' = 90°，
∴∠ABC = ∠BCB'，
∴AB//CQ。
又
∵m//AC，即BQ//AC，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴BQ = AC = 2，
∴PQ = PB + BQ = $\frac{7}{2}$。(7分)
(3)存在。
∵$S_{四边形PA'B'Q} = S_{△PCQ} - S_{△A'CQ} = S_{△PCQ} - \sqrt{3}$，
∴当$S_{△PCQ}$最小时，$S_{四边形PA'B'Q}$最小。
∵$S_{△PCQ} = \frac{1}{2}PQ·BC = \frac{\sqrt{3}}{2}PQ$，
∴当PQ最短时，$S_{四边形PA'B'Q}$最小（关键点：将四边形$PA'B'Q$面积的最小值问题转化为PQ最短问题）。
取PQ的中点G。
∵∠PCQ = 90°，
∴CG = $\frac{1}{2}$PQ，即PQ = 2CG，
∴当CG最小时，PQ最小。
当CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小（点拨：垂线段最短），此时CG = BC = $\sqrt{3}$，
∴PQ = 2$\sqrt{3}$，
∴$S_{△PCQ}$的最小值为3，
∴$S_{四边形PA'B'Q}$的最小值为3 - $\sqrt{3}$。(12分)