《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

22. （本小题满分9分）
漆扇利用了漆不溶于水的特点制作而成. 淇淇把自己制作的圆形漆扇放在支架上，如图是其平面示意图，AC为圆形漆扇的直径，点O为圆心，扇柄BC = 10cm，且A，O，C，B在同一直线上，△BCD为支架，DC与⊙O相切于点C，BD = 20cm，点A到桌面的距离为AH，且AH与⊙O相交于点Q，点B与点H的距离BH = 13cm.
（1）求∠A的度数；
（2）求$\overgroup{QC}$的长度；
（3）不改变现有漆扇的大小和位置，直接写出点D到圆形漆扇边缘的最大距离.

答案：
22
(1)
∵$DC$与$\odot O$相切于点$C$，$AC$为直径，
∴$CD\perp AB$（依据：切线的性质）。
在$Rt\triangle BCD$中，$BC = 10 cm$，$BD = 20 cm$，
∴$\sin\angle CDB = \frac{BC}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\angle CDB = 30°$。
由题意知$AH\perp DB$，
∴$\angle AHB = \angle DCB = 90°$，
∴$\angle A = \angle CDB = 30°$。
(2)如图
(1)，连接$OQ$。

由
(1)可知$\angle A = 30°$，
∴$\angle QOC = 60°$（依据：圆周角定理）。
在$Rt\triangle AHB$中，$\angle A = 30°$，$HB = 13 cm$，
∴$AB = 2BH = 26 cm$，
∴$AC = 26 - 10 = 16(cm)$，
∴$\odot O$的半径是$8$ cm，
∴$l_{弧QC}=\frac{60\pi×8}{180}=\frac{8\pi}{3}(cm)$。
(3)$(2\sqrt{91} + 8)cm$。
解法提示：如图
(2)，连接$DO$并延长交$\odot O$于点$E$，过点$O$作$OG\perp BD$于点$G$，此时$DE$为点$D$到圆形漆扇边缘的最大距离。

在$Rt\triangle OBG$中，$\angle OBG = 60°$，$BO = BC + CO = 18 cm$，
∴$BG = \frac{1}{2}OB = 9 cm$，$OG = 9\sqrt{3} cm$，
∴$DG = BD - BG = 20 - 9 = 11(cm)$，
∴$OD = \sqrt{OG^2 + DG^2}=\sqrt{(9\sqrt{3})^2 + 11^2}=2\sqrt{91}(cm)$，
∴$DE = OD + OE = (2\sqrt{91} + 8)cm$，
∴点$D$到圆形漆扇边缘的最大距离为$(2\sqrt{91} + 8)cm$。

23. （本小题满分11分）
新定义 折线距离 定义：平面直角坐标系中，对于$E(x_1,y_1)$，$F(x_2,y_2)$两点，称$|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$为E，F两点的“折线距离”，记为$G(EF)$.
【探究应用】
在平面直角坐标系中，已知$A(1,3)$，$B(4,4)$.
（1）如图（1），$AC // x$轴，$BC // y$轴，$G(AB) = AC + BC =$4.
（2）如图（2），一次函数$y = -x + 4$的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段MN上任取一点P，$G(PB)$是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
【拓展延伸】
（3）如图（3），若点Q是直线$l:y_1 = \frac{1}{3}x$上一动点，直接画出满足$G(QB) ≤ 4$的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度.
（4）直接写出满足$G(RB) = 4$的所有点R围成图形的面积.

答案：
23
(1)4
(2)$G(PB)$为定值。
如图
(1)，过点$P$作$PD// x$轴，过点$B$作$BD// y$轴。

设$P(t,-t + 4)$，则$PD = 4 - t$，$BD = 4 - (-t + 4)=t$，
∴$G(PB)=PD + BD = 4 - t + t = 4$。
(3)如图
(2)，$Q_1(3,1)$，$Q_2(6,2)$，线段$Q_1Q_2$即为所求。

∴点$Q$构成的线段长度为$\sqrt{(6 - 3)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{10}$。
解法提示：设$Q(n,\frac{1}{3}n)$，则$G(QB)=|n - 4|+|\frac{1}{3}n - 4|\leqslant4$。
令$n - 4 = 0$，解得$n = 4$；令$\frac{1}{3}n - 4 = 0$，解得$n = 12$。
分三种情况讨论（点拨：对应如图
(3)所示的三段）。

①当$n ＜ 4$时（注：点$Q$在射线$EO$上），$n - 4 ＜ 0$，$\frac{1}{3}n - 4 ＜ 0$，
∴$4 - n - \frac{1}{3}n + 4\leqslant4$，解得$n\geqslant3$，
∴$3\leqslant n ＜ 4$。
②当$4\leqslant n\leqslant12$时（注：点$Q$在线段$EF$上），$n - 4\geqslant0$，$\frac{1}{3}n - 4\leqslant0$，
∴$n - 4 - \frac{1}{3}n + 4\leqslant4$，解得$n\leqslant6$，
∴$4\leqslant n\leqslant6$。
③当$n ＞ 12$时，易知$G(QB)＞4$，故不符合题意。
综上，满足题意的点$Q$构成的线段为点$(3,1)$与点$(6,2)$的连线。
(4)32。
解法提示：设$R(x,y)$，则$G(RB)=|x - 4|+|y - 4|=4$，
当$x = 0$时，$y = 4$，则$R(0,4)$，
当$y = 0$时，$x = 4$，则$R(4,0)$，
当$x = 4$时，$y = 8$，则$R(4,8)$，
当$y = 4$时，$x = 8$，则$R(8,4)$，
∴满足$G(RB)=4$的点$R$围成的图形是以$B(4,4)$为中心的正方形，正方形的顶点为$(8,4)$，$(4,8)$，$(0,4)$，$(4,0)$，如图
(4)。

该正方形的对角线长为8，
∴该正方形的面积为$\frac{1}{2}×8×8 = 32$，
即满足$G(RB)=4$的所有点$R$围成图形的面积为32。