《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

19. (本小题满分8分)
有三张扑克牌,如图(1)所示.将它们洗匀后背面朝上放在桌上,$A$,$B$,$C$,$D$是圆的四等分点,如图(2).现通过抽取扑克牌的办法玩跑圈游戏,规则如下:若抽取扑克牌牌面上的数字是几,就从图(2)中点$A$的位置沿圆弧逆时针方向连续跑过几个$\frac{1}{4}$圆,第二次跑圈从第一次跑圈结束后的位置开始,按照规则继续进行. ($A$代表数字1)
(1)求牌面数字的中位数;
(2)若抽牌一次,求从点$A$跑到点$D$的概率;
(3)若无放回连续抽取两次,求两次跑圈后回到$A$点的概率.

答案： 19
(1)$1, 2, 3$中位数为$2$。 (2分)
(2)抽牌一次，一共有$3$种等可能的结果，其中抽到$3$，能从点$A$跑到点$D$，因此$P(从点A跑到点D) = \frac{1}{3}$。 (5分)
(3)列表如下：
1 2 3
1 3 4
2 3 5
3 4 5
共有$6$种等可能的结果，其中和为$4$时能回到$A$点，和为$4$的结果有$2$种，因此$P(两次跑圈后回到A点) = \frac{1}{3}$。 (8分)

20. (本小题满分8分)
探究发现:多出一块巧克力
现有一块$4×6$的巧克力板,每小块巧克力是边长为1的正方形,点$M$,$N$,$E$均为小正方形的顶点,淇淇先沿$MN$斜向切开,再从点$E$处向下切开(如图(1)),与$MN$交于点$F$,把巧克力分成$P$,$Q$,$K$三块(如图(2)),再将这三块重新组合起来(如图(3)),淇淇惊喜地发现巧克力居然多出一块.于是淇淇猜想按照这样不停地操作下去,就有吃不完的巧克力了.
(1)直接判断淇淇的猜想是否正确;
(2)求$EF$的长度,并说明多出一块巧克力的理由.

答案：
20
(1)淇淇的猜想不正确。 (2分)
(2)如图
(1)。$\because AF // BM$，$\therefore \triangle NAF \sim \triangle NBM$，$\therefore \frac{AF}{BM} = \frac{NA}{NB}$，即$\frac{AF}{1} = \frac{3}{4}$，解得$AF = \frac{3}{4}$，$\therefore EF = 3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ 多出一块巧克力的理由：如图
(2)，可知$EH = \frac{15}{4} + 2 = \frac{23}{4}$，$\therefore S_{矩形EHTS} = 4 × \frac{23}{4} = 23$。原矩形巧克力的面积为$4 × 6 = 24$。$\because 24 - 23 = 1$，$\therefore$多出一块巧克力。 (8分)