《2026年金考卷中考45套汇编数学河北专版》

8. 若$a$，$b$是正整数，且满足$\underset{8个2^{a}相加}{\underbrace{2^{a}+2^{a}+·s+2^{a}}}=\underset{8个2^{b}相乘}{\underbrace{2^{b}×2^{b}×·s×2^{b}}}$，则$a$与$b$的关系正确的是(A)

A.$a + 3 = 8b$
B.$3a = 8b$
C.$a + 3 = b^{8}$
D.$3a = 8 + b$

答案： 8 A 由题意,得$8× 2^{a}=(2^{b})^{8}$,$\therefore 2^{3}× 2^{a}=2^{8b}$,$\therefore 2^{3 + a}=2^{8b}$,$\therefore 3 + a = 8b$,故选A.

9. 淇淇在计算正数$a$的平方时，误算成$a$与2的积，求得的答案比正确答案小1，则$a=$(C)

A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$

答案： 9 C 由题意,得$2a + 1 = a^{2}$,解得$a_{1}=1 + \sqrt{2}$,$a_{2}=1 - \sqrt{2}$(不合题意,舍去),故选C.

10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AE$平分$\triangle ABC$的外角$\angle CAN$，点$M$是$AC$的中点，连接$BM$并延长交$AE$于点$D$，连接$CD$.
求证：四边形$ABCD$是平行四边形.
证明：$\because AB = AC$，$\therefore\angle ABC=\angle3$.
$\because\angle CAN=\angle ABC+\angle3$，$\angle CAN=\angle1+\angle2$，$\angle1=\angle2$，
$\therefore$ $\underline{\quad\quad①\quad\quad}$.
又$\because\angle4=\angle5$，$MA = MC$，
$\therefore\triangle MAD\cong\triangle MCB$($\underline{\quad\quad②\quad\quad}$)，
$\therefore MD = MB$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
若以上解答过程正确，①，②应分别为(D)

A.$\angle1=\angle3$，$AAS$
B.$\angle1=\angle3$，$ASA$
C.$\angle2=\angle3$，$AAS$
D.$\angle2=\angle3$，$ASA$

答案： 10 D

11. 直线$l$与正六边形$ABCDEF$的边$AB$，$EF$分别相交于点$M$，$N$，如图所示，则$\alpha+\beta=$(B)

A.$115^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$144^{\circ}$

答案：
11 B 正六边形每个内角为$180^{\circ}-360^{\circ}÷ 6 = 120^{\circ}$,$\therefore \angle A = \angle F = 120^{\circ}$.如图，易知$\angle 1=\alpha$，$\angle 2 = \beta$.又$\because \angle 1 + \angle 2 + \angle A + \angle F = 360^{\circ}$,$\therefore \alpha + \beta = \angle 1 + \angle 2 = 360^{\circ}-120^{\circ}× 2 = 120^{\circ}$.

12. 新定义 点的“特征值”在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形$ABCD$位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是(B)

A.点$A$
B.点$B$
C.点$C$
D.点$D$

答案： 12 B 设$A(a,b)$,$AB = m$,$AD = n.\because$四边形$ABCD$是矩形,$\therefore BC = AD = n$,$CD = AB = m$,$\therefore D(a,b + n)$,$B(a + m,b)$,$C(a + m,b + n)$.易知$\frac{b}{a + m}＜\frac{b}{a}＜\frac{b + n}{a}＜\frac{b + n}{a + m}$,$\therefore$该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.
巧解快解
本题只已知了第一象限内的一个矩形，故本题也可采用赋值法。如：设点A的坐标为$(1,1)$,$AB = 2$,$AD = 1$,则$B(3,1)$,$C(3,2)$,$D(1,2)$,$\therefore$点A,B,C,D的“特征值”分别为$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$,$\frac{2}{3}$,$\therefore$“特征值”最小的是点B.

13. 已知$A$为整式，若计算$\frac{A}{xy + y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+xy}$的结果为$\frac{x - y}{xy}$，则$A=$(A)

A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$

答案： 13 A $\because \frac{A}{xy + y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+xy}=\frac{x - y}{xy}$,$\therefore A = (\frac{x - y}{xy}+\frac{y}{x^{2}+xy})(xy + y^{2})=\frac{x^{2}-y^{2}+y^{2}}{xy(x + y)}· y(x + y)=\frac{x^{2}}{x}=x$.

14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为$120^{\circ}$时，扇面面积为$S$；该折扇张开的角度为$n^{\circ}$时，扇面面积为$S_{n}$，若$m=\frac{S_{n}}{S}$，则$m$与$n$关系的图象大致是(C)

答案： 14 C 设该扇面所在圆的半径为$R$,则$S=\frac{120\pi R^{2}}{360}=\frac{\pi R^{2}}{3}$,$\therefore \pi R^{2}=3S.\because$该折扇展开的角度为$n^{\circ}$时,扇面面积为$S_{n}$,$\therefore S_{n}=\frac{n\pi R^{2}}{360}=\frac{n}{360}× 3S=\frac{nS}{120}$,$\therefore m=\frac{S_{n}}{S}=\frac{n}{120}=\frac{1}{120}n$,$\therefore m$与$n$是正比例函数关系,故选C.